Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，M、N分別是邊AD、BC邊上的中點，且△ABM≌△DCM；E、F分別是線段BM、CM的中點．

（1）求證：平行四邊形ABCD是矩形．

（2）求證：EF與MN互相垂直．

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2)見解析.

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)得出∠A＝90°，即可得出結(jié)論；

（2）先證明四邊形MENF是平行四邊形，再證明平行四邊形MENF是菱形，即可得出結(jié)論．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥DC，AB＝DC，

∴∠A+∠D＝180°，

又∵△ABM≌△DCM，

∴∠A＝∠D＝90°，

∴平行四邊形ABCD是矩形；

（2）∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，

∴NE∥CM，NE＝CM，MF＝CM，

∴NE＝FM，NE∥FM，

∴四邊形MENF是平行四邊形，

∵△ABM≌△DCM，

∴BM＝CM，

∵E、F分別是BM、CM的中點，

∴ME＝MF，

∴平行四邊形MENF是菱形，

∴EF與MN互相垂直．