Question

【題目】已知：如圖，在菱形中，為邊的中點(diǎn)，與對角線交于點(diǎn)，過作于點(diǎn)，．

若，求的長；

求證：．

Answer 1

【答案】（1）2；（2）見解析

【解析】

（1）根據(jù)菱形的對邊平行可得AB∥CD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得CM=DM，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE，然后求出CD的長度，即為菱形的邊長BC的長度；

（2）先利用“邊角邊”證明△CEM和△CFM全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得ME=MF，延長AB交DF于點(diǎn)G，然后證明∠1=∠G，根據(jù)等角對等邊的性質(zhì)可得AM=GM，再利用“角角邊”證明△CDF和△BGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得GF=DF，最后結(jié)合圖形GM=GF+MF即可得證．

解：解：∵四邊形是菱形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

證明：∵為邊的中點(diǎn)，

∴，

∴，

在菱形中，平分，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

延長交的延長線于點(diǎn)，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，

由圖形可知，，

∴．