Question

【題目】如圖，拋物線(xiàn)y=﹣（x﹣1）2+c與x軸交于A(yíng)，B（A，B分別在y軸的左右兩側(cè)）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，已知A（﹣1，0）．

（1）求點(diǎn)B，C的坐標(biāo)；
（2）判斷△CDB的形狀并說(shuō)明理由；
（3）將△COB沿x軸向右平移t個(gè)單位長(zhǎng)度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE與△CDB重疊部分（如圖中陰影部分）面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵點(diǎn)A（﹣1，0）在拋物線(xiàn)y=﹣（x﹣1）2+c上，

∴0=﹣（﹣1﹣1）2+c，得c=4，

∴拋物線(xiàn)解析式為：y=﹣（x﹣1）2+4，

令x=0，得y=3，∴C（0，3）；

令y=0，得x=﹣1或x=3，∴B（3，0）．

（2）解：△CDB為直角三角形．理由如下：

由拋物線(xiàn)解析式，得頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，4）．

如答圖1所示，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥x軸于點(diǎn)M，

則OM=1，DM=4，BM=OB﹣OM=2．

過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N，則CN=1，DN=DM﹣MN=DM﹣OC=1．

在Rt△OBC中，由勾股定理得：BC= = = ；

在Rt△CND中，由勾股定理得：CD= = = ；

在Rt△BMD中，由勾股定理得：BD= = = ．

∵BC2+CD2=BD2，

∴△CDB為直角三角形（勾股定理的逆定理）．

（3）解：設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，∵B（3，0），C（0，3），

∴ ，

解得k=﹣1，b=3，

∴y=﹣x+3，

直線(xiàn)QE是直線(xiàn)BC向右平移t個(gè)單位得到，

∴直線(xiàn)QE的解析式為：y=﹣（x﹣t）+3=﹣x+3+t；

設(shè)直線(xiàn)BD的解析式為y=mx+n，∵B（3，0），D（1，4），

∴ ，

解得：m=﹣2，n=6，

∴y=﹣2x+6．

連接CQ并延長(zhǎng)，射線(xiàn)CQ交BD于點(diǎn)G，則G（ ，3）．

在△COB向右平移的過(guò)程中：

（I）當(dāng)0＜t≤ 時(shí)，如答圖2所示：

設(shè)PQ與BC交于點(diǎn)K，可得QK=CQ=t，PB=PK=3﹣t．

設(shè)QE與BD的交點(diǎn)為F，則： ，解得 ，∴F（3﹣t，2t）．

S=S△QPE﹣S△PBK﹣S△FBE= PEPQ﹣ PBPK﹣ BEyF= ×3×3﹣ （3﹣t）2span>﹣ t2t= t2+3t；

（II）當(dāng) ＜t＜3時(shí)，如答圖3所示：

設(shè)PQ分別與BC、BD交于點(diǎn)K、點(diǎn)J．

∵CQ=t，

∴KQ=t，PK=PB=3﹣t．

直線(xiàn)BD解析式為y=﹣2x+6，令x=t，得y=6﹣2t，

∴J（t，6﹣2t）．

S=S△PBJ﹣S△PBK= PBPJ﹣ PBPK= （3﹣t）（6﹣2t）﹣ （3﹣t）2= t2﹣3t+ ．

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

S= ．

【解析】（1）首先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式，從而可求得c的值，然后依據(jù)坐標(biāo)軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)以及結(jié)合拋物線(xiàn)的解析式可得到點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）依據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可求得△CDB三邊的長(zhǎng)度，然后利用勾股定理的逆定理判定△CDB為直角三角形；
（3）△COB沿x軸向右平移過(guò)程中，分兩個(gè)階段：當(dāng)0＜t≤；當(dāng)＜t＜3時(shí)，然后依據(jù)題意畫(huà)出圖形，接下來(lái)，用含t的式子表示重合部分的面積即可.