Question

【題目】如圖，△ABC中，點(diǎn)O是AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)O作直線MN∥BC，交∠ACB的平分線于點(diǎn)E，交∠ACB的外角平分線于點(diǎn)F．

（1）判斷OE與OF的大小關(guān)系？并說明理由；

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并說出你的理由；

（3）在（2）的條件下，當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是正方形．直接寫出答案，不需說明理由。

Answer 1

【答案】（1）OE=OF，理由詳見解析；（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)處，理由詳見解析；（3）∠ACB=90°時(shí)．

【解析】試題分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)得出，∠1=∠2，進(jìn)而得出，∠3=∠2，即可得出OE與OF的大小關(guān)系；

（2）首先證得四邊形AECF是平行四邊形，進(jìn)而得出∠ECF=90°，再利用矩形的判定得出即可；

（3）由（2）證明可知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，進(jìn)而得出AC⊥MN，即可得出答案．

試題解析：（1）OE=OF，理由如下：

因?yàn)?/span>CE平分∠ACB，所以∠1=∠2，又因?yàn)?/span>MN∥BC，所以∠1=∠3，所以∠3=∠2，所以EO=CO，同理，FO=CO，所以OE=OF．

（2）當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，理由如下：

因?yàn)?/span>OE=OF，點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，所以四邊形AECF是平行四邊形，又因?yàn)?/span>CF平分∠BCA的外角，所以∠4=∠5，又因?yàn)?/span>∠1=∠2，所以∠1=∠2，∠2+∠4==90°，即∠ECF=90°，所以平行四邊形AECF是矩形．

（3）當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，即∠ACB=90°時(shí)，四邊形AECF是正方形，理由如下：

由（2）證明可知，當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AECF是矩形，又因?yàn)?/span>∠ACB=90°，CE，CN分別是∠ACB與∠ACB的外角的平分線，所以∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°，所以AC⊥MN，所以四邊形AECF是正方形．