Question

【題目】如圖，中，其中；

（1）求線(xiàn)段的長(zhǎng)（用和的代數(shù)式表示）；

（2）如圖1，若，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，點(diǎn)到和BC的距離相等，，連接，求的長(zhǎng)；

（3）如圖2，若為的中點(diǎn)，，點(diǎn)分別在線(xiàn)段上，且，連接，和，求EF的值；

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

（2）過(guò)F作FM⊥AC于M，FN⊥BC于N，證明四邊形FNCM為正方形，利用FN∥AC，得到，解出正方形的邊長(zhǎng)，運(yùn)用勾股定理可求出DF的長(zhǎng)；

（3）過(guò)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，根據(jù)已知條件證明△ECD≌△DGF，得到條件證明△EDF為等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求得結(jié)果.

解：（1）根據(jù)勾股定理，∵BC=a，AC=b，∠ACB=90°，

∴AB=；

（2）由題意可得：BC=6，AC=8，

∴AB=，

過(guò)F作FM⊥AC于M，FN⊥BC于N，

∵F到AC和BC距離相等，

可得四邊形FNCM為正方形，

設(shè)CM=CN=FN=FM=x，

∵FN⊥BC，AC⊥BC，

∴FN∥AC，

∴，即，

解得：x=，

∴AM=8-x=，

∵AF=AD，

∴AF==AD，

∴DM=AD-AM=，

∴DF=；

（3）由題意可得：BC=6，AC=8，

∴AB=，

∵F為AB中點(diǎn)，

∴AF=BF=5，

過(guò)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，

∴FG=BC=3，

∴AG=，

∵BE=BF，AF=AD，

∴BE=5，CE=1，AD=5，CD=3，DG=AD-AG=1，

在△ECD和△DGF中，

，

∴△ECD≌△DGF（SAS），

∴ED=FD，∠EDC=∠DFG，

∵∠DFG+∠FDG=90°，

∴∠EDC+∠FDG=90°，

∴∠EDF=90°，

∴△EDF為等腰直角三角形，

∵EC=1，CD=3，

∴ED==FD，

∴EF=.