Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB=12，AM，BN是⊙O的兩條切線，DC切⊙O于E，交BN于C，設AD=x，BC=y．

（1）求y與x的函數(shù)關系式；
（2）若x，y是2t2-30t+m=0的兩實根，求x，y的值；
（3）求△OCD的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2；（3）45.

【解析】

（1）根據(jù)切線長定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，則DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根據(jù)勾股定理，就可以求出y與x的關系，
（2）由（1）求得xy=36；最后由根與系數(shù)的關系求得a的值，通過解一元二次方程即可求得x、y的值；
（3）由AM，BN是⊙O的兩條切線，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，推出S△AOD=S△ODE，S△OBC=S△COE，S△COD=××（3+12）×12=45．

（1）如圖1，作DF⊥BN交BC于F；

∵AM、BN與⊙O切于點定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
則DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）2=（y-x）2+122，
整理為：y=，
∴y與x的函數(shù)關系式是y=．
（2）由（1）知xy=36，
x，y是方程2x2-30x+a=0的兩個根，
∴根據(jù)韋達定理知，xy=，即a=72；
∴原方程為x2-15x+36=0，解得，
或，

∵x＜y，
∴；
（3）如圖2，連接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切線，
∴OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，
∴S△AOD=S△ODE，
S△OBC=S△COE，
∴S△COD=××（3+12）×12=45．