【題目】如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，AC與BD交于點E，∠ADB=∠ACB．

（1）求證：；

（2）若AB⊥AC，AE：EC=1：2，F(xiàn)是BC中點，求證：四邊形ABFD是菱形．

【答案】見解析

【解析】（1）利用相似三角形的判定得出△ABE∽△ACB，進而求出答案；

（2）首先證明AD=BF，進而得出AD∥BF，即可得出四邊形ABFD是平行四邊形，再利用AD=AB，得出四邊形ABFD是菱形．

本題解析：

證明：（1）∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABE，又∵∠ADB=∠ACB，∴∠ABE=∠ACB，

又∵∠BAE=∠CAB，∴△ABE∽△ACB，∴，又∵AB=AD，∴；

（2）設(shè)AE=x，∵AE：EC=1：2，∴EC=2x，

由（1）得：AB2=AEAC，∴AB=x，又∵BA⊥AC，∴BC=2x，∴∠ACB=30°，

∵F是BC中點，∴BF=x，∴BF=AB=AD，

又∵∠ADB=∠ACB=∠ABD，∴∠ADB=∠CBD=30°，∴AD∥BF，

∴四邊形ABFD是平行四邊形，又∵AD=AB，∴四邊形ABFD是菱形．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，BD⊥AC，垂足為D點，AE平分∠BAC，交BD于點F交BC于點E，點G為AB的中點，連接DG，交AE于點H，下列結(jié)論錯誤的是（　�。�

A.AH＝2DFB.HE＝BEC.AF＝2CED.DH＝DF

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，一次函數(shù)的圖像與的圖像交于點，與軸和 軸分別交于點和點，且點的橫坐標為.

(1)求的值與的長;

(2)若點為線段上一點，且，求點的坐標.

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】小明和幾位同學做手的影子游戲時，發(fā)現(xiàn)對于同一物體，影子的大小與光源到物體的距離有關(guān).因此，他們認為：可以借助物體的影子長度計算光源到物體的位置.于是，他們做了以下嘗試.

（1）如圖①，垂直于地面放置的正方形框架ABCD，邊長AB為30cm，在其正上方有一燈泡，在燈泡的照射下，正方形框架的橫向影子A′B，D′C的長度和為6cm.那么燈泡離地面的高度為 .

（2）不改變①中燈泡的高度，將兩個邊長為30cm的正方形框架按圖②擺放，請計算此時橫向影子A′B，D′C的長度和為多少？

（3）有n個邊長為a的正方形按圖③擺放，測得橫向影子A′B，D′C的長度和為b,求燈泡離地面的距離.（寫出解題過程，結(jié)果用含a,b,n的代數(shù)式表示）

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】甲、乙兩人兩次同時在同一家超市采購貨物（假設(shè)兩次采購貨物的單價不相同），甲每次采購貨物100千克，乙每次采購貨物用去100元．

（1）假設(shè)a、b分別表示兩次采購貨物時的單價（單位：元/千克），試用含a、b的式子表示：甲兩次采購貨物共需付款　 　元，乙兩次共購買　 　千克貨物．

（2）請你判斷甲、乙兩人采購貨物的方式哪一個的平均單價低，并說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知：RT△ABC與RT△DEF中，∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，EF＝8cm，AC＝16cm，BC＝12cm．現(xiàn)將RT△ABC和RT△DEF按圖1的方式擺放，使點C與點E重合，點B、C（E）、F在同一條直線上，并按如下方式運動．

運動一：如圖2，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿EF方向向右勻速運動，DE與AC相交于點Q，當點Q與點D重合時暫停運動；

運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖3，RT△ABC繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)，CA與DF交于點Q，CB與DE交于點P，此時點Q在DF上勻速運動，速度為cm/s，當QC⊥DF時暫停旋轉(zhuǎn)；

運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖4，RT△ABC以1cm/s的速度沿EF向終點F勻速運動，直到點C與點F重合時為止．

設(shè)運動時間為t（s），中間的暫停不計時，

解答下列問題

（1）在RT△ABC從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時　 　s；

（2）在整個運動過程中，設(shè)RT△ABC與RT△DEF的重疊部分的面積為S（cm2），求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；

（3）在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點Q正好在線段AB的中垂線上，若存在，求出此時t的值；若不存在，請說明理由．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在平的直角坐標系中，直線與軸、軸分別相交于點、，四邊形是正方形，曲線在第一象限經(jīng)過點．求雙曲線表示的函數(shù)解析式．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在某隧道建設(shè)工程中，需沿方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施工．為了使開挖點在直線上，現(xiàn)在上取一點，外取一點，測得，，．求開挖點到點的距離．

（精確到米）參考數(shù)據(jù)：，，．

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科目：初中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，G是邊長為4的正方形ABCD的邊BC上的一點，矩形DEFG的邊EF過A，GD=5．

（1）指出圖中所有的相似三角形；

（2）求FG的長．

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