Question

【題目】如圖1，在△ABC中，設AB=c，BC=a，AC=b，中線AE，BF相交于G，若AE⊥BF．

（1）①當∠ABF=60°，c=4時，求a與b的值；
②當∠ABF=30°，c=2 時，a= ， b=；
（2）由（1）獲得啟示，猜想a2 ， b2 ， c2三者之間滿足數量關系式是；（直接寫出結果）
（3）如圖2，在平行四邊形ABCD中，AB=4 ，BC=3 ，點E，F(xiàn)，G分別是AD，AB，CD的中點，CF與BG交于P點，若EF⊥FC．利用（2）中的結論，求BG的長．

Answer 1

【答案】
（1）；
（2）a2+b2=5c2
（3）

解：取BC的中點H，連接HG，DB，如圖2，

∵E，F(xiàn)，G分別是AD，AB，CD的中點，

∴EF∥DB∥HG，

∵BF∥CG，BF=CG，

∴∠BFP=∠GCP，

在△BFP與△PCG中， ，

∴△BFP≌△PCG，

∴PF=CP，

∴P是BG的中點，

又∵EF⊥FC，

∴HG⊥PC，

由（2）可知BC2+BG2=5CG2，

∵AB=4 ，BC=3 ，

∴（3 ）2+BG2=5（2 ）2，

∴BG= ．

【解析】解：（1）①∵AE⊥BF，∠ABF=60°，AB=4，
∴在Rt△ABG中，BG= AB=2，AG=ABcos60°=2 ，
∵AE，BF是△ABC的中線，
∴FG= BG=1a2+b2=5c2
在Rt△AGF中，AF= = ，
∴AC=b=2 ，
同理可得BC=a=2 ；
②當∠ABF=30°，AB=2 ，
∴在Rt△ABG中，AG= AB= ，BG=ABcos30°=3，
∴FG= BG= ，
在Rt△AGF中，AF= = ，
∴AC=b= ，
同理得BC=a= ，
所以答案是： ， ；（2）猜想：a2+b2=5c2 ，
由①可知，a2=28，b2=52，c2=16，
∵a2+b2=52+28=80=5×16=5c2 ，
∴a2+b2=5c2 ，
由②可知，a2=39，b2=21，c2=12，
∵a2+b2=39+21=60=5×12=5c2 ，
∴a2+b2=5c2 ，
所以答案是a2+b2=5c2；
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的性質，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分即可以解答此題．