如圖,PB為⊙O的切線,B為切點,直線PO交⊙于點E、F,過點B作PO的垂線BA,垂足為點D,交⊙O于點A,延長AO與⊙O交于點C,連接BC,AF.
(1)求證:直線PA為⊙O的切線;
(2)試探究線段EF、OD、OP之間的等量關(guān)系,并加以證明;
(3)若BC=6,tan∠F=,求cos∠ACB的值和線段PE的長.
(1)證明見解析(2)EF2=4OD•OP,證明見解析(3),
【解析】解:(1)連接OB,
∵PB是⊙O的切線,∴∠PBO=90°。
∵OA=OB,BA⊥PO于D,
∴AD=BD,∠POA=∠POB。
又∵PO=PO,∴△PAO≌△PBO(SAS)。
∴∠PAO=∠PBO=90°!嘀本PA為⊙O的切線。
(2)EF2=4OD•OP。證明如下:
∵∠PAO=∠PDA=90°,∴∠OAD+∠AOD=90°,∠OPA+∠AOP=90°。
∴∠OAD=∠OPA!唷鱋AD∽△OPA,∴,即OA2=OD•OP。
又∵EF=2OA,∴EF2=4OD•OP。
(3)∵OA=OC,AD=BD,BC=6,∴OD=BC=3(三角形中位線定理)。
設(shè)AD=x,
∵tan∠F=,∴FD=2x,OA=OF=2x﹣3。
在Rt△AOD中,由勾股定理,得(2x﹣3)2=x2+32,
解得,x1=4,x2=0(不合題意,舍去)。∴AD=4,OA=2x﹣3=5。
∵AC是⊙O直徑,∴∠ABC=90°。
又∵AC=2OA=10,BC=6,∴cos∠ACB=。
∵OA2=OD•OP,∴3(PE+5)=25!郟E=。
(1)連接OB,根據(jù)垂徑定理的知識,得出OA=OB,∠POA=∠POB,從而證明△PAO≌△PBO,然后利用全等三角形的性質(zhì)結(jié)合切線的判定定理即可得出結(jié)論。
(2)先證明△OAD∽△OPA,由相似三角形的性質(zhì)得出OA與OD、OP的關(guān)系,然后將EF=2OA代入關(guān)系式即可。
(3)根據(jù)題意可確定OD是△ABC的中位線,設(shè)AD=x,然后利用三角函數(shù)的知識表示出FD、OA,在Rt△AOD中,由勾股定理解出x的值,從而能求出cos∠ACB,再由(2)可得OA2=OD•OP,代入數(shù)據(jù)即可得出PE的長!
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
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科目:初中數(shù)學 來源:2004年北京市中考數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
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