Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=5，AC=9，S△ABC= ，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線AB方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，以相同的速度在線段AC上由C向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，以PQ為邊作正方形PQEF（P、Q、E、F按逆時(shí)針排序），以CQ為邊在AC上方作正方形QCGH．

（1）求tanA的值；
（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，正方形PQEF的面積為S，請(qǐng)?zhí)骄縎是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，正方形PQEF的某個(gè)頂點(diǎn)（Q點(diǎn)除外）落在正方形QCGH的邊上，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，

∵AC=9，S△ABC= ，

∴ ACBM= ，即 ×9BM= ，

解得BM=3．

由勾股定理，得

AM= = =4，

則tanA= =

（2）

解：存在．

如圖2，

過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N．

依題意得AP=CQ=5t．

∵tanA= ，

∴AN=4t，PN=3t．

∴QN=AC﹣AN﹣CQ=9﹣9t．

根據(jù)勾股定理得到：PN2+NQ2=PQ2，

S正方形PQEF=PQ2=（3t）2+（9﹣9t）2=90t2﹣162t+81（0＜t＜ ）．

∵﹣ = = 在t的取值范圍之內(nèi)，

∴S最小值= = =

（3）

解：

①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上時(shí)，t1= ；

②如圖4，當(dāng)點(diǎn)F在邊HG上時(shí)，t2= ；

③如圖5，當(dāng)點(diǎn)P邊QH（或點(diǎn)E在QC上）時(shí)，t3=1

④如圖6，當(dāng)點(diǎn)F邊CG上時(shí)，t4=

【解析】（1）如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥AC于點(diǎn)M，利用面積法求得BM的長(zhǎng)度，利用勾股定理得到AM的長(zhǎng)度，最后由銳角三角函數(shù)的定義進(jìn)行解答；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PN⊥AC于點(diǎn)N．利用（1）中的結(jié)論和勾股定理得到PN2+NQ2=PQ2 ， 所以由正方形的面積公式得到S關(guān)于t的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式和二次函數(shù)圖象的性質(zhì)來(lái)求其最值；（3）需要分類討論：當(dāng)點(diǎn)E在邊HG上、點(diǎn)F在邊HG上、點(diǎn)P邊QH（或點(diǎn)E在QC上）、點(diǎn)F邊C上時(shí)相對(duì)應(yīng)的t的值．