Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P在CA的延長(zhǎng)線上，∠CAD=45°．
（Ⅰ）若AB=4，求 的長(zhǎng)；
（Ⅱ）若 = ，AD=AP，求證：PD是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）連接OC，OD，
∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，
∴∠COD=90°，
∵AB=4，
∴OC= AB=2，
∴ 的長(zhǎng)= ×π×2=π；
（Ⅱ）∵ = ，
∴∠BOC=∠AOD，
∵∠COD=90°，
∴∠AOD=45°，
∵OA=OD，
∴∠ODA=∠OAD，
∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，
∴∠ODA=67.5°，
∵AD=AP，
∴∠ADP=∠APD，
∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，
∴∠ADP= CAD=22.5°，
∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，
∴PD是⊙O的切線．
【解析】（Ⅰ）連接OC，OD，由圓周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，于是得到∠COD=90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式即可得到結(jié)論；（Ⅱ）由已知條件得到∠BOC=∠AOD，由圓周角定理得到∠AOD=45°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP= CAD=22.5°，得到∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，于是得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)和切線的判定定理的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握把圓分成n(n≥3):1、依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形2、經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形；切線的判定方法：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．