Question

如圖，在矩形ABCD中，AB=10cm，BC=20cm．P、Q兩點(diǎn)同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，分別以1cm/秒和2cm/秒的速度沿A?B?C?D?A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)Q點(diǎn)回到A點(diǎn)時(shí)，P、Q兩點(diǎn)即停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形面積為s，請(qǐng)寫出s關(guān)于t的函數(shù)解析式及自變量t的取值范圍；
（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，t取何值時(shí)，PQ與BD垂直？

Answer 1

分析：（1）當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足5＜t＜10，△PBQ的米娜及就可以用時(shí)間t表示出來，從而得到函數(shù)解析式；
（2）首先以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，使BC落在x軸正半軸，BA落在y軸正半軸上，根據(jù)條件易求直線BD的解析式中的一次項(xiàng)系數(shù)是

1

2

．兩直線互相垂直時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)一定互為負(fù)倒數(shù)．因而直線PQ的一次項(xiàng)系數(shù)是-2．分兩種情況：①點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上；②點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在AD上．針對(duì)每一種情況，都可以將P、Q的坐標(biāo)用含t的代數(shù)式表示出來，代入直線PQ的解析式就可以解出t的值．

解答：解：（1）當(dāng)P、Q分別在AB邊和BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t滿足5＜t＜10，BQ=2t-10，BP=10-t，
因而以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形面積為s=

1

2

×（2t-10）（10-t），
即s=-t²+15t-50（5＜t＜10）；

（2）以B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，使BC落在x軸正半軸，BA落在y軸正半軸上．
∵D（20，10）在直線BD上，∴直線BD的解析式為y=

1

2

x．
∵兩直線互相垂直時(shí)，一次項(xiàng)系數(shù)一定互為負(fù)倒數(shù)，
∴直線PQ的一次項(xiàng)系數(shù)是-2，
設(shè)直線PQ的解析式為y=-2x+b．
分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上時(shí)，
BP=10-t，BQ=2t-10，
∴P（0，10-t），Q（2t-10，0）．
把點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別代入y=-2x+b，得10-t=b，0=-2（2t-10）+b，
解得t=6，b=4；
②點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)Q在AD上時(shí)，
BP=t-10，AQ=60-2t，
∴P（t-10，0），Q（60-2t，10）．
把點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)分別代入y=-2x+b，得0=-2（t-10）+b，10=-2（60-2t）+b，
解得t=25，b=30．
綜上所述，t=6或t=25．

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)與矩形相結(jié)合的問題，根據(jù)圖形求出函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．