Question

（2010•濱湖區(qū)二模）如圖，在△ABC中，AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°，⊙O為△ABC的外接圓，P為弧BC上任一點(diǎn)，則四邊形OABP的周長(zhǎng)的最大值是    cm．

Answer 1

【答案】分析：四過(guò)邊形OABP的周長(zhǎng)為OA+AB+BP+OP，在這四條線段中OA、OC是半徑是定值，AB是定值5，故周長(zhǎng)要想最大，則BP的值最大，其位置應(yīng)在點(diǎn)C處，即求得BC的長(zhǎng)為BP的最大值．點(diǎn)B作BD⊥AC于D，連接OB，OC，先根據(jù)直角三角形ABD求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)直角三角形BDC求出BC的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角和圓心角之間的關(guān)系可求得△OBC是等腰直角三角形，可求出半徑的長(zhǎng)，從而求得四邊形的最大周長(zhǎng)．
解答：解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC于D，連接OB，OC
∵AB=5cm，∠A=45°，∠C=30°
∴BD=sin45°•AB=
BC=2BD=5cm
∵∠BOC=2∠A=90°
∴OB=OC=5cm
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的位置時(shí)，四邊形OABP的周長(zhǎng)最大為5+5+5+5=（15+5）cm．
點(diǎn)評(píng)：解決此類動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的關(guān)鍵是分析題意，找到不變的量和變化的量，通過(guò)確定變量的最值來(lái)確定周長(zhǎng)的最值．如本題中四過(guò)邊形OABP的周長(zhǎng)中OA，OC是半徑是定值，AB是定值5，故周長(zhǎng)要想最大，則BP的值最大，其位置應(yīng)在點(diǎn)C處，即求得BC的長(zhǎng)為BP的最大值．