Question

【題目】將長為 1，寬為 a 的長方形紙片(0.5<a<1)如圖折疊，剪下一個邊長等于長方形的寬度的正方形(稱為第一次操作)；再把剩下的長方形如圖折疊，剪下一個邊長等于此時長方形寬度的正方形 (稱為第二次操作)；如此反復操作下去，如此反復下去，若在第 n 次操作后剩下的長方形恰好為正方形，則操作終止.

（1）第一次操作后，剩下的長方形兩邊長分別為 ；(用含 a 的代數式表示)

（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則求 a 的值，寫出解答過程；

（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，畫出示意圖形，直接寫出 a 的值.

Answer 1

【答案】（1）a 和 1-a；（2）a=；（3）圖詳見解析，a=或 a= ．

【解析】

（1）經過第一次操作可知剩下的長方形一邊長為a，另一邊長為1﹣a；

（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則第一次操作后剩下的長方形的長為寬的2倍，由此可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論；

（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則第二次操作后剩下的長方形的長為寬的2倍，由此可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出結論．

（1）第一次操作后，剩下的長方形兩邊長分別為a，（1﹣a）．

故答案為：a和1﹣a．

（2）若第二次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，則a＝2（1﹣a）或2a＝1﹣a，解得：a或a（舍去）．

（3）若第三次操作后，剩下的長方形恰好是正方形，如圖所示，則1﹣a＝2（2a﹣1）或2（1﹣a）＝2a﹣1，解得：a或a．