Question

在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如

5

3

， 

2 3

 ， 

2

3 +1

一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：

5

3

=

5× 3

3 × 3

=

5

3

3

(一) ，

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

(二)，

2

3 +1

=

2×( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2( 3 -1)

( 3 )2-12

=

3

-1(三)，

2

3 +1

還可以用一下方法化簡：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

( 3 +1)( 3 -1)

3 +1

=

3

-1（四）
以上這種化簡的方法叫做分母有理化．
（1）請化簡

2

5 + 3

=

 

．
（2）若a是

2

的小數(shù)部分則

3

a

=

 

．
（3）矩形的面積為3

5

+1，一邊長為

5

-2，則它的周長為

 

．
（4）化簡

2

1+ 5

+

2

5 + 9

+

2

9 + 13

+…+

2

4n-3 + 4n+1

．

Answer 1

分析：（1）分子、分母同乘以最簡有理化因式

5

-

3

，化簡即可；
（2）由題意可得a=

2

-1，代入分母有理化即可．
（3）首先求另一邊長為：

3 5 + 1

5 - 2

，化簡再按矩形的周長公式解答；
（4）把各加數(shù)分母有理化，再加減即可．

解答：解：（1）

2

5 + 3

=

2( 5 - 3 )

( 5 + 3 )( 5 - 3 )

=

5

-

3

，
故答案為：

5

-

3

；

（2）∵

1

＜

2

＜

4

，a是

2

的小數(shù)部分，
∴a=

2

-1，
∴

3

a

=

3

2 -1

=3 

2

 +3．
故答案為：3

2

+3；

（3）另一邊長為：

3 5 + 1

5 - 2

=

(3 5 +1)( 5 +2)

( 5 -2)( 5 +2)

=17+7

5

，
周長為：2（17+7

5

+

5

-2）=30+16

5

，
故答案為：30+16

5

；

（4）

2

1+ 5

+

2

5 + 9

+

2

9 + 13

+…+

2

4n-3 + 4n+1

=

2( 5 -1)

5-1

+

2( 9 - 5 )

9-5

+

2( 13 - 9 )

13-9

+…+

2( 4n+1 - 4n-3 )

(4n+1)-(4n-3)

=

5 - 1+ 9 - 5 + 13 - 9 +… 4n+1 - 4n-3

2

=

4n+1 -1

2

．

點評：此題考查分母有理化，分母有理化是化簡二次根式的一種重要方法．分母有理化時，應(yīng)結(jié)合題目的具體特點，選擇適當(dāng)?shù)姆椒ǎ?/div>