Question

【題目】如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點E是CD邊的中點，延長BC至點F，使得CF=CE，連接BE，DF，將△BEC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)，當點E恰好落在DF上的點H處時，連接AG，DG，BG，則AG的長是_____．

Answer 1

【答案】2

【解析】

如圖，過C作CK⊥DF于K，過H作HM⊥CF于M，過G作PN⊥BC，交AD于P，交BC于N，

∵CD=2，CE=CF=，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∴∠BCF=90°，

由勾股定理得：DF==5，

∵CK⊥DF，DC⊥CF，

∴∠FCK=∠CDF，

sin∠FCK=sin∠CDF=，

∴，

FK=1，

∴CK==2，

由旋轉(zhuǎn)得：CH=CE=CF，

∵CK⊥FH，

∴HF=KF=1，

∴HF=2，

∴S△CHF=CFHM=HFCK，

HM=2×2，

HM=，

∴CM==，

∴tan∠HCF===，

設HM=4x，CM=3x，則CH=5x，

∵∠HCF=∠GCD=∠CGN，

∴cos∠CGN=cos∠HCF==，

∴GN=CG，

∵CG=BC=2，

∴GN=×2=，

∴NC===，

∴GP=2﹣=，

∴AP=BN=BC﹣NC=2﹣=，

由勾股定理得：AG===2；

故答案為：2．