Question

【題目】已知開口向上的拋物線y＝ax2+bx+c與x軸交于A（﹣3，0）、B（1，0）兩點，與y軸交于C點，∠ACB不小于90°．

（1）求點C的坐標（用含a的代數式表示）；

（2）求系數a的取值范圍；

（3）設拋物線的頂點為D，求△BCD中CD邊上的高h的最大值．

（4）設E(-，0)，當∠ACB＝90°，在線段AC上是否存在點F，使得直線EF將△ABC的面積平分？若存在，求出點F的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）點C的坐標為（0，﹣3a）．（2）0＜a≤；（3）1；（4）當∠ACB＝90°，在線段AC上存在點F，使得直線EF將△ABC的面積平分，點F的坐標是（﹣，﹣）．

【解析】

（1）由拋物線 y＝ax2+bx+c過點A（﹣3，0），B（1，0），得出c與a的關系，即可得出C點坐標；

（2）利用已知得出△AOC∽△COB，進而求出OC的長度，即可得出a的取值范圍；

（3）作DG⊥y軸于點G，延長DC交x軸于點H，得出拋物線的對稱軸為x＝﹣1，進而求出△DCG∽△HCO，得出OH＝3，過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM＝h，根據h＝HB sin∠OHC求出0°＜∠OHC≤30°，得到0＜sin∠OHC≤，即可求出答案；

（4）連接CE，過點N作NP∥CD交y軸于P，連接EF，根據三角形的面積公式求出S△CAEF＝S四邊形EFCB，根據NP∥CE，求出P（0，-2），設過N、P兩點的一次函數是y＝kx+b，代入N、P的左邊得到方程組，求出直線NP的解析式，同理求出A、C兩點的直線的解析式，組成方程組求出即可．

（1）∵拋物線 y＝ax2+bx+c過點A（﹣3，0），B（1，0），

∴消去b，得 c＝﹣3a．

∴點C的坐標為（0，﹣3a），

答：點C的坐標為（0，﹣3a）．

（2）當∠ACB＝90°時，

∠AOC＝∠BOC＝90°，∠OBC+∠BCO＝90°，∠ACO+∠BCO＝90°，

∴∠ACO＝∠OBC，

∴△AOC∽△COB，

∴，

即 OC2＝AOOB，

∵AO＝3，OB＝1，

∴OC＝，

∵∠ACB不小于90°，

∴OC≤，即﹣c≤，

由（1）得 3a≤，

∴a≤，

又∵a＞0，

∴a的取值范圍為0＜a≤，

答：系數a的取值范圍是0＜a≤．

（3）作DG⊥y軸于點G，延長DC交x軸于點H，如圖．

∵拋物線 y＝ax2+bx+c交x軸于A（﹣3，0），B（1，0）．

∴拋物線的對稱軸為x＝﹣1．

即﹣＝﹣1，所以b＝2a．

又由（1）有c＝﹣3a．

∴拋物線方程為 y＝ax2+2ax﹣3a，D點坐標為（﹣1，﹣4a）．

于是 CO＝3a，GC＝a，DG＝1．

∵DG∥OH，

∴△DCG∽△HCO，

∴，即，得 OH＝3，表明直線DC過定點H（3，0）．

過B作BM⊥DH，垂足為M，即BM＝h，

∴h＝HB sin∠OHC＝2 sin∠OHC．

∵0＜CO≤，

∴0°＜∠OHC≤30°，0＜sin∠OHC≤．

∴0＜h≤1，即h的最大值為1，

答：△BCD中CD邊上的高h的最大值是1．

（4）由（1）、（2）可知，當∠ACB＝90°時，a=，CO=，

設AB的中點為N，連接CN，則N（﹣1，0），CN將△ABC的面積平分，

連接CE，過點N作NP∥CE交y軸于P，顯然點P在OC的延長線上，從而NP必與AC相交，設其交點為F，連接EF，

因為NP∥CE，所以S△CEF＝S△CEN，

由已知可得NO＝1，EO=，而NP∥CE，

∴PO=2CO=2，得P（0，-2），

設過N、P兩點的一次函數是y＝kx+b，則，

解得：k=b=-2，

即y=-2(x+1)，①

同理可得過A、C兩點的一次函數為x+y+3=0，②

解由①②組成的方程組得x=-，y=-，

故在線段AC上存在點F(-,-)滿足要求．

答：當∠ACB＝90°，在線段AC上存在點F，使得直線EF將△ABC的面積平分，點F的坐標是(-,-)．