Question

【題目】已知等腰△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，P為BC上一動點，∠MPN=45°，PM、PN分別與AB、AC交于點E、F，且PM⊥AB，BE=x.

(1)若P點在BC上運動，求四邊形AEPF的面積（用x的代數式表示）并寫出x的取值范圍

(2)當點P在BC上運動時，△EPF能否為直角三角形，若能，請寫出此時x的值；若不能，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）四邊形AEPF的面積＝；（2）x的值為或.

【解析】

（1）首先證明△ABC、△BEP、△FPC是等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的邊之間的關系求出AB、BP和PC，根據四邊形AEPF的面積＝列式整理，然后求出AF，根據AF大于0以及AB=可得x的取值范圍；

（2）由∠MPN=45°可知當△EPF為直角三角形時，△EPF是等腰直角三角形，然后分情況討論：①當∠EFP＝90°時，②當∠FEP＝90°時，分別根據等腰直角三角形的邊之間的關系列出方程求解即可.

解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，且PM⊥AB，

∴△BEP是等腰直角三角形，

∵∠MPN=45°，

∴∠BPN＝90°，即PN⊥BC，

∴△FPC是等腰直角三角形，

∵BC=4，BE=x，

∴AB=AC=，BP=，

∴PC=PF=，

∴四邊形AEPF的面積＝，

，

，

，

∵PC=PF=，

∴CF=，

∴AF=AC-CF=，

∵AF＞0，即，

∴，

又∵AB=，

∴，

故四邊形AEPF的面積＝；

（2）∵∠MPN=45°，

∴當△EPF為直角三角形時，△EPF是等腰直角三角形，

分情況討論：

①當∠EFP＝90°時，EP為斜邊，

由（1）可知，EP=x，PF=，

∴EP=PF，即，

解得：；

②當∠FEP＝90°時，FP為斜邊，

由（1）可知，EP=x，PF=，

∴PF=EP，即，

解得：，

綜上所述，當△EPF為直角三角形時，x的值為或.