Question

【題目】如圖，拋物線y=與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線于點(diǎn)D（8，10），點(diǎn)P為線段BC下方拋物線上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE∥y軸交線段AD于點(diǎn)E．

（1）如圖1．當(dāng)PE+AE最大時(shí)，分別取線段AE，AC上動(dòng)點(diǎn)G，H，使GH=5，若點(diǎn)M為GH的中點(diǎn)，點(diǎn)N為線段CB上一動(dòng)點(diǎn)，連接EN、MN，求EN+MN的最小值；

（2）如圖2，點(diǎn)F在線段AD上，且AF：DF=7：3，連接CF，點(diǎn)Q，R分別是PE與線段CF，BC的交點(diǎn)，以RQ為邊，在RQ的右側(cè)作矩形RQTS，其中RS=2，作∠ACB的角平分線CK交AD于點(diǎn)K，將△ACK繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75°得到△A′CK′，當(dāng)矩形RQTS與△A′CK′重疊部分（面積不為0）為軸對(duì)稱圖形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）2-（2）當(dāng)xP=2-1或2＜xP＜6-6時(shí)，矩形RQRS和△A′CK′重疊部分為軸對(duì)稱圖形

【解析】

（1）先通過二次函數(shù)解析式求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再求出AC，AB，CB的長(zhǎng)度，用勾股定理逆定理證直角三角形，求出直線AD的解析式，用含相同字母的代數(shù)式分別表示E，Q，P的坐標(biāo)，并表示出EP長(zhǎng)度，求出AE長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出EA+EP最大值時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)．最后作出點(diǎn)E關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間線段最短可求出結(jié)果；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到三角形CA′K與三角形CAK全等，且為等腰直角三角形，求出A′，K′的坐標(biāo)，求出直線A′K′及CB的解析式，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，通過圖象觀察出P的橫坐標(biāo)的取值范圍．

（1）在拋物線y=x2-x-6中，

當(dāng)y=0時(shí)，x1=-2，x2=6，

當(dāng)x=0時(shí)，y=-6，

∵拋物線y=x2-x-6與x軸交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，

∴A（-2，0），B（6，0），C（0，-6），

∴AB=8，AC=，BC=，

在△ABC中，

AC2+BC2=192，AB2=192，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，

∵AD∥BC，

∴∠CAD=90°，

過點(diǎn)D作DL⊥x軸于點(diǎn)L，

在Rt△ADL中，

DL=10，AL=10，

tan∠DAL==，

∴∠DAB=30°，

把點(diǎn)A（-2，0），D（8，10）代入直線解析式，

得，

解得k=，b=2，

∴yAD=x+2，

設(shè)點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為a，EP⊥y軸于點(diǎn)Q，

則E（a，a+2），Q（a，0），P（a，a2-a-6），

∴EQ=a+2，EP=a+2-（a2-a-6）=a2+a+8，

∴在Rt△AEB中，

AE=2EQ=a+4，

∴PE+AE=a+4+（a2+a+8）

=a2a+12

=（a-5）2+

∴根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)a=5時(shí)，PE+AE有最大值，

∴此時(shí)E（5，7），

過點(diǎn)E作EF⊥CB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，

則∠EAC=∠ACB=∠ACF=90°，

∴四邊形ACFE是矩形，

作點(diǎn)E關(guān)于CB的對(duì)稱點(diǎn)E'，

在矩形ACFE中，由矩形的性質(zhì)及平移規(guī)律知，

xF-xE=xC-xA，yE-yF=yA-yC，

∵A（-2，0），C（0，-6），E（5，7），

∴xF-5=0-（-2），7-yF=0-（-6），

∴xF=7，yF=1，

∴F（7，1），

∵F是EE′的中點(diǎn)，

∴，，

∴xE′=9，yE′=-5，

∴E'（9，-5），

連接AE'，交BC于點(diǎn)N，則當(dāng)GH的中點(diǎn)M在E′A上時(shí)，EN+MN有最小值，

∴AE′==2，

∵M是Rt△AGH斜邊中點(diǎn)，

∴AM=GH=，

∴EN+MN=E′M=2-，

∴EN+MN的最小值是2-．

（2）在Rt△AOC中，

∵tan∠ACO==，

∴∠AOC=30°，

∵KE平分∠ACB，

∴∠ACK=∠BCK=45°，

由旋轉(zhuǎn)知，△CA′K′≌△CAK，∠AC′A′=75°，

∴∠OCA′=75°-∠ACO=45°，∠AC′K′=45°，

∴OCK′=90°，

∴K′C⊥y軸，△CAK′是等腰直角三角形，

∴A′C=AC=4，

∴xA′==2，yA′=2-6，

∴A′（2，2-6），

∴K′（4，-6），

將A′（2，2-6），K′（4，-6），代入一次函數(shù)解析式，

得，

解得k=-1，b=4-6，

∴yA′K′=-x+4-6，

∵CB∥AD，

∴將點(diǎn)C（0，-6），B（6，0）代入一次函數(shù)解析式，

得，

解得k=，b=-6，

∴yCB=x-6，

聯(lián)立yA′K′=-x+4-6和yCB=x-6，

得-x+4-6=x-6，

∴x=6-6，

∴直線CB與A′K′的交點(diǎn)橫坐標(biāo)是6-6，

∵當(dāng)EP經(jīng)過A′時(shí)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是2，

∴如圖2，當(dāng)2＜xP＜6-6時(shí)，重疊部分是軸對(duì)稱圖形；

如圖3，由于RS的長(zhǎng)度為2，由圖可看出當(dāng)xP=2-1時(shí)，重疊部分同樣為軸對(duì)稱圖形；

綜上，當(dāng)xP=2-1或2＜xP＜6-6時(shí)，

矩形RQRS和△A′CK′重疊部分為軸對(duì)稱圖形．