Question

（2013•南平）如圖，已知點(diǎn)A（0，4），B（2，0）．
（1）求直線AB的函數(shù)解析式；
（2）已知點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），以M為頂點(diǎn)的拋物線y=（x-m）²+n與線段OA交于點(diǎn)C．
①求線段AC的長；（用含m的式子表示）
②是否存在某一時(shí)刻，使得△ACM與△AMO相似？若存在，求出此時(shí)m的值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b，將A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線AB的函數(shù)解析式；
（2）①先由拋物線的頂點(diǎn)式為y=（x-m）²+n得出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n），由點(diǎn)M是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，得出n=-2m+4，則y=（x-m）²-2m+4，再求出拋物線y=（x-m）²+n與y軸交點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后根據(jù)AC=OA-OC即可求解；
②過點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2m+4），AD=OA-OD=2m，由勾股定理求出AM=

5

m．在△ACM與△AMO中，由于∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，所以當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí)，只能是△ACM∽△AMO，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得出

AC

AM

=

AM

AO

，即

-m2+2m

5 m

=

5 m

4

，解方程求出m的值即可．

解答：解：（1）設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為：y=kx+b．
∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，0），
∴

b=4 2k+b=0

，解得：

k=-2 b=4

，
即直線AB的函數(shù)解析式為y=-2x+4；

（2）①∵以M為頂點(diǎn)的拋物線為y=（x-m）²+n，
∴拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，n）．
∵點(diǎn)M在線段AB上，∴n=-2m+4，
∴y=（x-m）²-2m+4．
把x=0代入y=（x-m）²-2m+4，
得y=m²-2m+4，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，m²-2m+4），
∴AC=OA-OC=4-（m²-2m+4）=-m²+2m；

②存在某一時(shí)刻，能夠使得△ACM與△AMO相似．理由如下：
過點(diǎn)M作MD⊥y軸于點(diǎn)D，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-2m+4），
∴AD=OA-OD=4-（-2m+4）=2m．
∵M(jìn)不與點(diǎn)A、B重合，∴0＜m＜2，
又∵M(jìn)D=m，∴AM=

AD2+MD2

=

5

m．
∵在△ACM與△AMO中，∠CAM=∠MAO，∠MCA＞∠AOM，
∴當(dāng)△ACM與△AMO相似時(shí)，假設(shè)△ACM∽△AMO，
∴

AC

AM

=

AM

AO

，即

-m2+2m

5 m

=

5 m

4

，
整理，得 9m²-8m=0，解得m=

8

9

或m=0（舍去），
∴存在一時(shí)刻使得△ACM與△AMO相似，且此時(shí)m=

8

9

．

點(diǎn)評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，難度適中．利用數(shù)形結(jié)合及方程思想是解題的關(guān)鍵．