Question

【題目】在菱形ABCD中，∠BAD=α，E為對(duì)角線AC上的一點(diǎn)（不與A，C重合），將射線EB繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)β角之后，所得射線與直線AD交于F點(diǎn)．試探究線段EB與EF的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖1，當(dāng)α=β=90°時(shí)，EB與EF的數(shù)量關(guān)系為　 　．

（2）如圖2，當(dāng)α=60°，β=120°時(shí)．

①依題意補(bǔ)全圖形；

②探究（1）的結(jié)論是否成立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)舉出反例說(shuō)明；

（3）在此基礎(chǔ)上對(duì)一般的圖形進(jìn)行了探究，設(shè)∠ABE=γ，若旋轉(zhuǎn)后所得的線段EF與EB的數(shù)量關(guān)系滿足（1）中的結(jié)論，請(qǐng)直接寫(xiě)出角α，β，γ滿足的關(guān)系： 　．

Answer 1

【答案】(1)EB=EF；(2)①見(jiàn)解析；②結(jié)論依然成立EB=EF，證明見(jiàn)解析；(3)α+β=180°或°.

【解析】

（1）過(guò)E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．當(dāng)α=β=90°時(shí)，菱形ABCD是正方形，可以證明ANEM是正方形，再證明△EMF≌△ENB，即可得出結(jié)論；

（2）①依題意補(bǔ)全圖形如圖2所示，②證法1，利用菱形的性質(zhì)得出，∠DAC＝∠BAC，再用角平分線的性質(zhì)，得出EM＝EN，進(jìn)而判斷出△EFM≌△EBN即可；

證法2，利用菱形的性質(zhì)直接判斷出△AED≌△AEB，即可得出結(jié)論；

（3）直接得出結(jié)論．

（1）EB＝EF．理由如下：

過(guò)E作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．當(dāng)α=β=90°時(shí)，菱形ABCD是正方形，∴∠DAC=∠CAB=45°，∴EM=EN，∴ANEM是正方形，∴∠NEM=90°．

∵∠FEB=90°，∴∠MEF=∠NEB．

∵∠EMF=∠ENB=90°，∴△EMF≌△ENB，∴EB=EF．

故答案為：EB＝EF；

（2）①補(bǔ)全圖形如圖2所示：

②結(jié)論依然成立EB＝EF．理由如下：

證法1：如圖3．

過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AF于M，EN⊥AB于N．

∵四邊形ABCD為菱形，∴∠CAD＝∠CAB．

∵EM⊥AF，EN⊥AB，∴∠FME＝∠N＝90°，EM＝EN．

∵∠BAD＝60°，∠BEF＝120°，∴∠F+∠ABE＝360°﹣∠BAD﹣∠BEF＝180°．

∵∠ABE+∠EBN＝180°，∴∠F＝∠EBN．

在△EFM與△EBN中，∵，∴△EFM≌△EBN，∴EF＝EB；

證法2：如圖4，連接ED．

∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAE．

又∵AE＝AE，∴△ADE≌△ABE，∴ED＝EB，∠ADE＝∠ABE．

又∵∠DAB＝60°，∠BEF＝120°，∴∠F+∠ABE＝180°．

又∵∠ADE+∠FDE＝180°，∴∠F＝∠FDE，∴EF＝ED，∴EF＝EB．

（3）α+β=180°或°．