Question

【題目】教材第九章中探索乘法公式時(shí)，設(shè)置由圖形面積的不同表示方法驗(yàn)證了乘法公式．我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家趙爽，早在公元3世紀(jì)，就把一個(gè)矩形分成四個(gè)全等的直角三角形，用四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)大的正方形(如圖①)，這個(gè)圖形稱為趙爽弦圖，驗(yàn)證了一個(gè)非常重要的結(jié)論：在直角三角形中兩直角邊a、b與斜邊c滿足關(guān)系式a2＋b2＝c2，稱為勾股定理．

(1)愛動(dòng)腦筋的小明把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了另一個(gè)大的正方形(如圖②)，也能驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，請(qǐng)你幫助小明完成驗(yàn)證的過程．

(2)小明又把這四個(gè)全等的直角三角形拼成了一個(gè)梯形(如圖③)，利用上面探究所得結(jié)論，求當(dāng)a＝3，b＝4時(shí)梯形ABCD的周長(zhǎng)．

(3)如圖④，在每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1的方格紙中，△ABC的頂點(diǎn)都在方格紙格點(diǎn)上．請(qǐng)?jiān)趫D中畫出△ABC的高BD，利用上面的結(jié)論，求高BD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式；（2）；（3）作出高BD如下圖，BD=

【解析】

（1）根據(jù)四個(gè)全等的直角三角形的面積+陰影部分小正方形的面積=大正方形的面積，代入數(shù)值，即可證明；
（2）由（1）中結(jié)論先求出c的值，再根據(jù)周長(zhǎng)公式即可得出梯形ABCD的周長(zhǎng)；
（3）先根據(jù)高的定義畫出BD，由（1）中結(jié)論求出AC的長(zhǎng)，再根據(jù)△ABC的面積不變列式，即可求出高BD的長(zhǎng)．

(1)證明　由圖得，×ab×4＋c2＝(a＋b)×(a＋b)，

整理，得2ab＋c2＝a2＋b2＋2ab，

即a2＋b2＝c2；

(2)解　∵a＝3，b＝4，

∴c＝＝5，

梯形ABCD的周長(zhǎng)為：a＋c＋3a＋c＝4a＋2c＝4×3＋2×5＝22；

(3)解　如圖4，BD是△ABC的高．

∵S△ABC＝AC·BD＝AB×3，AC＝＝5，

∴BD＝＝＝.

故答案為：(1)見解析；(2)22;(3) .