如圖,在△ABC中,己知AB=AC=5,BC=6,且將△ABC≌△DEF,將△DEF與△ABC重合在一起,△ABC不動,△DEF運(yùn)動,并滿足:點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動,且DE始終經(jīng)過點(diǎn)A,EF與AC交于M點(diǎn).
(1)求證:△ABE∽△ECM;
(2)探究:在△DEF運(yùn)動過程中,重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形?若能,求出BE的長;若不能,請說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到什么位置時,線段AM最短?并求出此時AM的值.(直接寫出答案)
【考點(diǎn)】相似形綜合題.
【分析】(1)由AB=AC,根據(jù)等邊對等角,可得∠B=∠C,又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì),易證得∠CEM=∠BAE,則可證得:△ABE∽△ECM;
(2)首先由∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,可得AE≠AM,然后分別從AE=EM與AM=EM去分析,注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案;
(3)先設(shè)BE=x,由△ABE∽△ECM,根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例,易得CM=﹣(x﹣3)2+,利用二次函數(shù)的性質(zhì),繼而求得線段AM的最小值.
【解答】(1)證明:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
∵△ABC≌△DEF,
∴∠AEF=∠B,
又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE,
∴∠CEM=∠BAE,
∴△ABE∽△ECM;
(2)解:∵∠AEF=∠B=∠C,且∠AME>∠C,
∴∠AME>∠AEF,
∴AE≠AM;
當(dāng)AE=EM時,則△ABE≌△ECM,
∴CE=AB=5,
∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1,
當(dāng)AM=EM時,則∠MAE=∠MEA,
∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM,
即∠CAB=∠CEA,
又∵∠C=∠C,
∴△CAE∽△CBA,
∴,
∴CE==,
∴BE=6﹣=;
∴BE=1或;
(3)解:設(shè)BE=x,
又∵△ABE∽△ECM,
∴=,
即:=,
∴CM=﹣+x=﹣(x﹣3)2+,
∴AM=﹣5﹣CM=(x﹣3)2+,
∴當(dāng)x=3時,AM最短為,
∴BE=3時,AM最短為.
【點(diǎn)評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問題.此題難度較大,注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵.
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在20km越野賽中,甲乙兩選手的行程y(單位:km)隨時間x(單位:h)變化的圖象如圖所示,根據(jù)圖中提供的信息,有下列說法:①兩人相遇前,甲的速度小于乙的速度;②出發(fā)后1小時,兩人行程均為10km;③出發(fā)后1.5小時,甲的行程比乙多3km;④甲比乙先到達(dá)終點(diǎn).其中正確的有個數(shù)的序號是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
李大爺一年前買入了A、B兩種兔子共46只,目前,他所養(yǎng)的這兩種兔子數(shù)量相同,且A種兔子的數(shù)量比買入時減少了3只,B種兔子的數(shù)量比買入時減少a只.
(1)則一年前李大爺買入A種兔子 只,目前A、B兩種兔子共 只(均用含a的代數(shù)式表示);
(2)若一年前買入的A種兔子數(shù)量多于B種兔子數(shù)量,則目前A、B兩種兔子共有多少只?
(3)李大爺目前準(zhǔn)備賣出30只兔子,已知賣A種兔子可獲利15元/只,賣B種兔子可獲利6元/只,如果賣出的A種兔子少于15只,且總共獲利不低于280元,那么他有哪幾種賣兔方案?哪種方案獲利最大?請求出最大獲利.
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讓圖中兩個轉(zhuǎn)盤分別自由轉(zhuǎn)動一次,當(dāng)轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時,兩個指針分別落在某兩個數(shù)所表示的區(qū)域,則兩個數(shù)的和是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的概率等于__________.
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