Question

如圖，在△ABC中，己知AB=AC=5，BC=6，且將△ABC≌△DEF，將△DEF與△ABC重合在一起，△ABC不動(dòng)，△DEF運(yùn)動(dòng)，并滿足：點(diǎn)E在邊BC上沿B到C的方向運(yùn)動(dòng)，且DE始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，EF與AC交于M點(diǎn)．

（1）求證：△ABE∽△ECM；

（2）探究：在△DEF運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重疊部分能否構(gòu)成等腰三角形？若能，求出BE的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，線段AM最短？并求出此時(shí)AM的值．（直接寫(xiě)出答案）

Answer 1

【考點(diǎn)】相似形綜合題．

【分析】（1）由AB=AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠B=∠C，又由△ABC≌△DEF與三角形外角的性質(zhì)，易證得∠CEM=∠BAE，則可證得：△ABE∽△ECM；

（2）首先由∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，可得AE≠AM，然后分別從AE=EM與AM=EM去分析，注意利用全等三角形與相似三角形的性質(zhì)求解即可求得答案；

（3）先設(shè)BE=x，由△ABE∽△ECM，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，易得CM=﹣（x﹣3）²+，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，繼而求得線段AM的最小值．

【解答】（1）證明：∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵△ABC≌△DEF，

∴∠AEF=∠B，

又∵∠AEF+∠CEM=∠AEC=∠B+∠BAE，

∴∠CEM=∠BAE，

∴△ABE∽△ECM；

（2）解：∵∠AEF=∠B=∠C，且∠AME＞∠C，

∴∠AME＞∠AEF，

∴AE≠AM；

當(dāng)AE=EM時(shí)，則△ABE≌△ECM，

∴CE=AB=5，

∴BE=BC﹣EC=6﹣5=1，

當(dāng)AM=EM時(shí)，則∠MAE=∠MEA，

∴∠MAE+∠BAE=∠MEA+∠CEM，

即∠CAB=∠CEA，

又∵∠C=∠C，

∴△CAE∽△CBA，

∴，

∴CE==，

∴BE=6﹣=；

∴BE=1或；

（3）解：設(shè)BE=x，

又∵△ABE∽△ECM，

∴=，

即：=，

∴CM=﹣+x=﹣（x﹣3）²+，

∴AM=﹣5﹣CM=（x﹣3）²+，

∴當(dāng)x=3時(shí)，AM最短為，

∴BE=3時(shí)，AM最短為．

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及二次函數(shù)的最值問(wèn)題．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與函數(shù)思想的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．