Question

【題目】如圖，AB∥CD，E 是直線 CD 上的一點，且 ∠BAE=30°， 是直線 CD 上的一動點，M是 AP 的中點，直線 MN⊥AP 且與 CD 交于點 N，設 ∠BAP=X°，∠MNE=Y°．

（1）在圖2 中，當 x=12 時，∠MNE= ；在圖 3 中，當 x=50 時，∠MNE= ；

（2）研究表明：y與x之間關系的圖象如圖4所示（ 不存在時，用空心點表示），請你根據(jù)圖象直接估計當 y=100 時，x= ；

（3）探究：當 x= 時，點 N 與點 E 重合；

（4）探究：當 x>105 時，求y與x之間的關系式．

Answer 1

【答案】（1）102°，40°；(2)10或170；(3)15或105.（4）y=270-x

【解析】（1）當x=12時，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)可：∠MNE=90°+12°=102°；

當x=50°，根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得結(jié)論；

（2）由圖象直接得出結(jié)論；

（3）分兩種情況：①P在E的左側(cè)，②P在E的右側(cè)，根據(jù)平行線的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)可得結(jié)論；

（4）如圖7，根據(jù)三角形外角和為360°列式可得結(jié)論．

解：（1）如圖2，∵AB∥CD，

∴∠BAP=∠APN=x°，

∵MN⊥AP，

∴∠PMN=90°，

∴∠MNE=∠PMN+∠APN=90°+x°，

當x=12時，∠MNE=（90+12）°=102°；

即y=102°，

如圖3中，當x=50時，∠APN=50°，

∴y=∠MNE=90°-x°=90°-50°=40°，

故答案為：102°，40°；

（2）如圖2，當0＜x＜30時，y=90+x，

此時，y=100時，90+x=100，x=10，

由圖4可知：y=100時，還有x=170，

∴當y=100時，x=10或170，

故答案為：10或170；

（3）①P在E的左側(cè)時，當N與E重合時，如圖5，∠BAE=∠AEP=30°，

∵MN是AP的中垂線，

∴AE=PE，

∴∠AEM=∠PEM=15°，

∴∠EAP=90°-15°=75°，

∴∠BAP=x=30°+75°=105°，

②P在E的右側(cè)時，當N與E重合時，如圖6，

∵AB∥CD，

∴∠BAP=∠APE=x，

同理得：AE=PE，

∴∠EAM=∠EPM=x，

∵∠BAE=30°，

∴∠BAP=x=∠EAP=∠BAE=15°，

綜上所述，當x=15或105時，點N與點E重合；

故答案為：15或105；

（4）當x＞105時，如圖7，

∵AB∥CD，

∴∠APC=∠BAP=x，

∵∠APC+∠MNE+∠AMN=360°，∠AMN=90°，

∴∠APC+∠MNE=360°-90°=270°，

∴∠MNE=270°-∠APC=270°-∠BAP，

即y=270-x．