Question

如圖，直線AC∥BD，連結(jié)AB，直線AB、BD、AC把平面分成①、②、③、④四個(gè)部分，規(guī)定：線上各點(diǎn)不屬于任何部分.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在某個(gè)部分時(shí)，連結(jié)PA、PB構(gòu)成∠PAC、∠APB、∠PBD三個(gè)角。（提示：有公共端點(diǎn)的兩條重合的射線組成的角是0度角.）

（1）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第①部分時(shí)，試說明∠APB＝∠PAC＋∠PBD；

（2）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第②部分時(shí)，∠APB＝∠PAC＋∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P落在第③、④部分時(shí)，全面探究∠APB、∠PAC、∠PBD之間的數(shù)量關(guān)系，并畫出相應(yīng)的圖形、寫出相應(yīng)的結(jié)論.請選擇一種結(jié)論加以說明.

 

Answer 1

【答案】

（1） 作PQ∥AC，則 PQ∥AC ∥BD. ∴∠APQ﹦∠CAP ，∠BPQ﹦∠DPB

  ∴∠APB﹦∠APQ+ ∠BPQ﹦∠PAC+ ∠PBD.  …4分

（也可延長AP或BP求證）

（2）不成立. …6分 

（3）點(diǎn)P落在第③部分時(shí)，

∠APB﹦∠PBD－∠PAC.  …9分

點(diǎn)P落在第④部分時(shí)，

∠APB﹦∠PAC－ ∠PBD.  …10分

  選其中一個(gè)證明（正確給2分）…10分

【解析】（1）過點(diǎn)P作AC的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)將∠PAC，∠PBD等量轉(zhuǎn)化，證出結(jié)論．

（2）過點(diǎn)P作AC的平行線PQ，∠APB=∠APQ+∠QPB，∠PAC與∠APQ是一對同旁內(nèi)角，∠QPB與∠PBD也是一對同旁內(nèi)角，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，發(fā)現(xiàn)三個(gè)角的和是360度．

（3）分點(diǎn)P在直線AB的左側(cè)與右側(cè)兩種情況，分別過點(diǎn)P向右作PQ∥AC，根據(jù)平行公理可得PQ∥BD，然后根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)用∠PAC表示出∠APQ，用∠PBD表示出∠BPQ，然后結(jié)合圖形整理即可得解．點(diǎn)P落在第④部分時(shí)，證法同上