Question

在某次數(shù)字變換游戲中，我們把整數(shù)0，1，2，…，100稱為“舊數(shù)”，游戲的變換規(guī)則是：將舊數(shù)先平方，再除以100，所得到的數(shù)稱為“新數(shù)”． 例如：舊數(shù)26的新數(shù)為26²÷100=6.76
（1）經(jīng)過(guò)上述規(guī)則變換后，有人斷言：“按照上述變換規(guī)則，所有的新數(shù)都小于它的舊數(shù)．”你認(rèn)為這種說(shuō)法對(duì)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由，若不對(duì)，請(qǐng)舉一反例說(shuō)明．
（2）請(qǐng)求出按照上述規(guī)則變換后減小了最多的舊數(shù)（要寫(xiě)出解答過(guò)程）．

Answer 1

解：（1）不對(duì)．　理由如下：
設(shè)這個(gè)數(shù)為x，按照游戲的變換規(guī)則得x²=100x，
解得：x₁=0，x₂=100，
∵0²÷100=0，100²÷100=100，
∴0和100的新數(shù)等于它的舊數(shù)，不小于它的舊數(shù)，
∴這種說(shuō)法不正確．
（2）設(shè)舊數(shù)為x，舊數(shù)與新數(shù)之差為y，
則y=x-，化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=-（x-50）²+25，
∵a=-，
∴x=50時(shí)，y的值最大25，
因此，減小了最多的舊數(shù)是50．
分析：（1）這種說(shuō)法不對(duì)，設(shè)這個(gè)數(shù)為x，按照游戲的變換規(guī)則得到x²=100x，解得x₁=0，x₂=100，因?yàn)?和100的新數(shù)等于它的舊數(shù)，不小于它的舊數(shù)，所以這種說(shuō)法不正確；
（2）設(shè)減少的量為y，根據(jù)題意得y=x-，然后化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=-（x-50）²+25，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到當(dāng)x=50時(shí)，y有最大值為25．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式：y=a（x-k）²+h，當(dāng)a＜0，x=h，y有最大值k；當(dāng)a＞0，x=h，y有最小值k．