【題目】拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0).
(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式;
(2)該拋物線與直線y= x+3相交于C、D兩點,點P是拋物線上的動點且位于x軸下方,直線PM∥y軸,分別與x軸和直線CD交于點M、N.
①連結(jié)PC、PD,如圖1,在點P運動過程中,△PCD的面積是否存在最大值?若存在,求出這個最大值;若不存在,說明理由;
②連結(jié)PB,過點C作CQ⊥PM,垂足為點Q,如圖2,是否存在點P,使得△CNQ與△PBM相似?若存在,求出滿足條件的點P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1,0)和點B(5,0),
∴ ,解得 ,
∴該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y= x2﹣ x+3
(2)
解:①∵點P是拋物線上的動點且位于x軸下方,
∴可設(shè)P(t, t2﹣ t+3)(1<t<5),
∵直線PM∥y軸,分別與x軸和直線CD交于點M、N,
∴M(t,0),N(t, t+3),
∴PN= t+3﹣( t2﹣ t+3)=﹣ (t﹣ )2+
聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得 ,解得 或 ,
∴C(0,3),D(7, ),
分別過C、D作直線PN的直線,垂足分別為E、F,如圖1,
則CE=t,DF=7﹣t,
∴S△PCD=S△PCN+S△PDN= PNCE+ PNDF= PN= [﹣ (t﹣ )2+ ]=﹣ (t﹣ )2+ ,
∴當(dāng)t= 時,△PCD的面積有最大值,最大值為
②存在.
∵∠CQN=∠PMB=90°,
∴當(dāng)△CNQ與△PBM相似時,有 = 或 = 兩種情況,
∵CQ⊥PM,垂足為Q,
∴Q(t,3),且C(0,3),N(t, t+3),
∴CQ=t,NQ= t+3﹣3= t,
∴ = ,
∵P(t, t2﹣ t+3),M(t,0),B(5,0),
∴BM=5﹣t,PM=0﹣( t2﹣ t+3)=﹣ t2+ t﹣3,
當(dāng) = 時,則PM= BM,即﹣ t2+ t﹣3= (5﹣t),解得t=2或t=5(舍去),此時P(2, );
當(dāng) = 時,則BM= PM,即5﹣t= (﹣ t2+ t﹣3),解得t= 或t=5(舍去),此時P( ,﹣ );
綜上可知存在滿足條件的點P,其坐標(biāo)為(2, )或( ,﹣ )
【解析】(1)由A、B兩點的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式;(2)①可設(shè)出P點坐標(biāo),則可表示出M、N的坐標(biāo),聯(lián)立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標(biāo),過C、D作PN的垂線,可用t表示出△PCD的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值;②當(dāng)△CNQ與△PBM相似時有 = 或 = 兩種情況,利用P點坐標(biāo),可分別表示出線段的長,可得到關(guān)于P點坐標(biāo)的方程,可求得P點坐標(biāo).
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等)的比等于相似比;相似三角形周長的比等于相似比;相似三角形面積的比等于相似比的平方.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線 與x軸交于點A和點B,與y軸交于點C,已知點B的坐標(biāo)為(3,0).
(1)求a的值和拋物線的頂點坐標(biāo);
(2)分別連接AC、BC.在x軸下方的拋物線上求一點M,使△AMC與△ABC的面積相等;
(3)設(shè)N是拋物線對稱軸上的一個動點,d=|AN﹣CN|.探究:是否存在一點N,使d的值最大?若存在,請直接寫出點N的坐標(biāo)和d的最大值;若不存在,請簡單說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知O為直線MN上一點,OP⊥MN,在等腰Rt△ABO中,∠BAO=90°,AC∥OP交OM于C,D為OB的中點,DE⊥DC交MN于E.
(1)如圖1,若點B在OP上,則
①ACOE(填“<”,“=”或“>”);
②線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式是;
(2)將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉(zhuǎn)α(0°<α<45°),如圖2,那么(1)中的結(jié)論②是否成立?請說明理由;
(3)將圖1中的等腰Rt△ABO繞O點順時針旋轉(zhuǎn)α(45°<α<90°),請你在圖3中畫出圖形,并直接寫出線段CA、CO、CD滿足的等量關(guān)系式 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,我國兩艘海監(jiān)船A,B在南海海域巡航,某一時刻,兩船同時收到指令,立即前往救援遇險拋錨的漁船C,此時,B船在A船的正南方向5海里處,A船測得漁船C在其南偏東45°方向,B船測得漁船C在其南偏東53°方向,已知A船的航速為30海里/小時,B船的航速為25海里/小時,問C船至少要等待多長時間才能得到救援?(參考數(shù)據(jù):sin53°≈ ,cos53°≈ ,tan53°≈ , ≈1.41)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的弦,AB=5,點C是⊙O上的一個動點,且∠ACB=45°,若點M、N分別是AB、AC的中點,則MN長的最大值是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】端午節(jié)當(dāng)天,小明帶了四個粽子(除味道不同外,其它均相同),其中兩個是大棗味的,另外兩個是火腿味的,準(zhǔn)備按數(shù)量平均分給小紅和小剛兩個好朋友.
(1)請你用樹狀圖或列表的方法表示小紅拿到的兩個粽子的所有可能性.
(2)請你計算小紅拿到的兩個粽子剛好是同一味道的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y(jié)果.
下面有三個推斷:
①當(dāng)投擲次數(shù)是500時,計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308,所以“釘尖向上”的概率是0.616;
②隨著實驗次數(shù)的增加,“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動,顯示出一定的穩(wěn)定性,可以估計“釘尖向上”的概率是0.618;
③若再次用計算機模擬實驗,則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時,“釘尖向上”的概率一定是0.620.
其中合理的是( )
A.①
B.②
C.①②
D.①③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】舟山市2010﹣2014年社會消費品零售總額及增速統(tǒng)計圖如圖:
請根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)求舟山市2010﹣2014年社會消費品零售總額增速這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).
(2)求舟山市2010﹣2014年社會消費品零售總額這組數(shù)據(jù)的平均數(shù).
(3)用適當(dāng)?shù)姆椒A(yù)測舟山市2015年社會消費品零售總額(只要求列式說明,不必計算出結(jié)果).
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