Question

【題目】拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0）．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）該拋物線與直線y= x+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．
①連結(jié)PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；

②連結(jié)PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A（1，0）和點B（5，0），

∴ ，解得 ，

∴該拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式為y= x2﹣ x+3

（2）

解：①∵點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，

∴可設(shè)P（t， t2﹣ t+3）（1＜t＜5），

∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N，

∴M（t，0），N（t， t+3），

∴PN= t+3﹣（ t2﹣ t+3）=﹣ （t﹣ ）2+

聯(lián)立直線CD與拋物線解析式可得 ，解得 或 ，

∴C（0，3），D（7， ），

分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，

則CE=t，DF=7﹣t，

∴S△PCD=S△PCN+S△PDN= PNCE+ PNDF= PN= [﹣ （t﹣ ）2+ ]=﹣ （t﹣ ）2+ ，

∴當(dāng)t= 時，△PCD的面積有最大值，最大值為

②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，

∴當(dāng)△CNQ與△PBM相似時，有 = 或 = 兩種情況，

∵CQ⊥PM，垂足為Q，

∴Q（t，3），且C（0，3），N（t， t+3），

∴CQ=t，NQ= t+3﹣3= t，

∴ = ，

∵P（t， t2﹣ t+3），M（t，0），B（5，0），

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（ t2﹣ t+3）=﹣ t2+ t﹣3，

當(dāng) = 時，則PM= BM，即﹣ t2+ t﹣3= （5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此時P（2， ）；

當(dāng) = 時，則BM= PM，即5﹣t= （﹣ t2+ t﹣3），解得t= 或t=5（舍去），此時P（ ，﹣ ）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標(biāo)為（2， ）或（ ，﹣ ）

【解析】（1）由A、B兩點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；（2）①可設(shè)出P點坐標(biāo)，則可表示出M、N的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與拋物線解析式可求得C、D的坐標(biāo)，過C、D作PN的垂線，可用t表示出△PCD的面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值；②當(dāng)△CNQ與△PBM相似時有 = 或 = 兩種情況，利用P點坐標(biāo)，可分別表示出線段的長，可得到關(guān)于P點坐標(biāo)的方程，可求得P點坐標(biāo)．
【考點精析】利用相似三角形的判定與性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．