Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，AB=5，點C是⊙O上的一個動點，且∠ACB=45°，若點M、N分別是AB、AC的中點，則MN長的最大值是 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：如圖， ∵點M，N分別是AB，AC的中點，
∴MN= BC，
∴當(dāng)BC取得最大值時，MN就取得最大值，當(dāng)BC是直徑時，BC最大，
連接BO并延長交⊙O于點C′，連接AC′，
∵BC′是⊙O的直徑，
∴∠BAC′=90°．
∵∠ACB=45°，AB=5，
∴∠AC′B=45°，
∴BC′= = =5 ，
∴MN最大= ．
所以答案是： ．

【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用三角形中位線定理和圓周角定理的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．