Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AD長為6，AB是弦，∠A=30°，CD∥AB，且CD= ．
（1）求∠C的度數(shù)；
（2）求證：BC是⊙O的切線；
（3）求陰影部分面積．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖，

連接BD，

∵AD為圓O的直徑，

∴∠ABD=90°，

∴BD= AD=3，

∵CD∥AB，∠ABD=90°，

∴∠CDB=∠ABD=90°，

在Rt△CDB中，tanC= = = ，

∴∠C=60°；

（2）證明：連接OB，

∵OA=OB，

∴∠OBA=∠A=30°，

∵CD∥AB，∠C=60°，

∴∠ABC=180°﹣∠C=120°，

∴∠OBC=∠ABC﹣∠ABO=120°﹣30°=90°，

∴OB⊥BC，

∴BC為圓O的切線；

（3）解：過點O作OE⊥AB，則有OE= OA= ，

∵AB= = =3 ，

∴S△OAB= ABOE= ×3 × = ，

∵∠AOB=180°﹣2∠A=120°，

∴S扇形OAB= =3π，

則S陰影=S扇形OAB﹣S△AOB=3π﹣ ．

【解析】（1）連接BD，由AD為圓的直徑，得到∠ABD為直角，再利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出BD的長，根據CD與AB平行，得到一對內錯角相等，確定出∠CDB為直角，在直角三角形BCD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出tanC的值，即可確定出∠C的度數(shù)；（2）連接OB，由OA=OB，利用等邊對等角得到一對角相等，再由CD與AB平行，得到一對同旁內角互補，求出∠ABC度數(shù)，由∠ABC﹣∠ABO度數(shù)確定出∠OBC度數(shù)為90，即可得證；（3）過O作OE⊥AB，利用30度角所對的直角邊等于斜邊的一半求出OE的長，根據勾股定理求出AE的長，進而求出AB的長，確定出三角形OAB面積，再由扇形AOB面積減去三角形AOB面積求出陰影部分面積即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識，掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，以及對扇形面積計算公式的理解，了解在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形；扇形面積S=π（R2-r2）．