Question

已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E，連接DE、BE，且∠C=∠BED．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）若OA=10，AD=16，求AC的長．

Answer 1

分析：（1）要證AC是⊙O的切線，只要證明OA⊥AC就可以；
（2）根據△OAF∽△OCA，相似三角形的對應邊的比相等，就可以求出AC的長．

解答：（1）證明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED，
∴∠BAD=∠C．（1分）
∵OC⊥AD于點F，
∴∠BAD+∠AOC=90°．（2分）
∴∠C+∠AOC=90°．
∴∠OAC=90°．
∴OA⊥AC．
∴AC是⊙O的切線．（4分）

（2）解：∵OC⊥AD于點F，
∴AF=

1

2

AD=8．（5分）
在Rt△OAF中，OF=

OA2-AF2

=6，（6分）
∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C，
∴△OAF∽△OCA．（7分）
∴

OA

OC

=

OF

OA

．
即OC=

OA2

OF

=

100

6

=

50

3

．（8分）
在Rt△OAC中，AC=

OC2-OA2

=

40

3

．（10分）

點評：本題主要考查了切線的證明方法，以及垂徑定理，三角形相似的性質．