Question

（2013•淮安）如圖，在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度沿B→C→A→B的方向運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位沿C→A→B方向的運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B后立即原速返回，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，相遇后同時(shí)停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ι秒．
（1）當(dāng)ι=

7

時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇；
（2）在點(diǎn)P從點(diǎn)B到點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)ι為何值時(shí)，△PCQ為等腰三角形？
（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)△PCQ的面積為s平方單位．
①求s與ι之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)s最大時(shí)，過點(diǎn)P作直線交AB于點(diǎn)D，將△ABC中沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，求折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理求得AC的長度，點(diǎn)P與點(diǎn)Q相遇一定是在P由A到B的過程中，利用方程即可求得；
（2）分Q從C到A的時(shí)間是3秒，P從B到C的時(shí)間是3秒，則可以分當(dāng)0≤t≤2時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，和當(dāng)2＜t≤3時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=PC兩種情況進(jìn)行討論求得t的值；
（3）在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，P一定在AC上，則PC的長度是t-3，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可利用t表示出s的值，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得t的值，從而求解．

解答：解：（1）在直角△ABC中，AC=

AB2-BC2

=4，
則Q從C到B經(jīng)過的路程是9，需要的時(shí)間是4.5秒．此時(shí)P運(yùn)動(dòng)的路程是4.5，P和Q之間的距離是：3+4+5-4.5=7.5．
根據(jù)題意得：（t-4.5）+2（t-4.5）=7.5，解得：t=7．

（2）Q從C到A的時(shí)間是2秒，P從B到C的時(shí)間是3秒．
則當(dāng)0≤t≤2時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有：PC=CQ，即3-t=2t，解得：t=1．
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，若△PCQ為等腰三角形，則一定有PQ=QC（如圖1）．則Q在PC的中垂線上，作QH⊥AC，則QH=

1

2

PC．△AQH∽△ABC，
在直角△AQH中，AQ=2t-4，則QH=

3

5

AQ=

3

5

(2t-4)．
∵PC=BC-BP=3-t，
∴

3

5

（2t-4）=

1

2

（3-t），
解得：t=

39

17

；

（3）連接DC（即AD的折疊線）交PQ于點(diǎn)O，過Q作QE⊥CA于點(diǎn)E，過O作OF⊥CA于點(diǎn)F，
則△PCO即為折疊后的△APD與△PCQ重疊部分的面積．
在點(diǎn)Q從點(diǎn)B返回點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)過程中，P一定在AC上，則PC=t-3，BQ=2t-9，即AQ=5-（2t-9）=14-2t．
同（2）可得：△PCQ中，PC邊上的高是：

3

5

（14-2t），
故s=

1

2

（t-3）×

3

5

（14-2t）=

3

5

（-t²+10t-21）．
故當(dāng)t=5時(shí)，s有最大值，此時(shí)，P在AC的中點(diǎn)．（如圖2）．
∵沿直線PD折疊，使點(diǎn)A落在直線PC上，
∴PD一定是AC的中垂線．
則AP=

1

2

AC=2，PD=

1

2

BC=

3

2

，
AQ=14-2t=14-2×5=4．
則PC邊上的高是：

3

5

AQ=

3

5

×4=

12

5

．
∵∠COF=∠CDP=∠B，
所以，tan∠COF=

4

3

，設(shè)OF為x，
則利用三角函數(shù)得CF=

4x

3

，PF=2-

4x

3

，
則QE=

12

5

，AE=

16

5

，
∴PE=

6

5

，
∵△POF∽△PQE，
∴

OF

QE

=

PF

PE

，
解得：x=

12

11

，
S_△PCO=

1

2

×2×

12

11

=

12

11

．

點(diǎn)評(píng)：本題是相似三角形的性質(zhì)，勾股定理、以及方程的綜合應(yīng)用，正確進(jìn)行分類討論是關(guān)鍵．