Question

【題目】如圖，拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的表達(dá)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）把（1）中所求出的拋物線記為C1，將C1向右平移m個(gè)單位得到拋物線C2，C1與C2的在第一象限交點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作MK于K，MG⊥x軸于點(diǎn)G，交線段AC于點(diǎn)H，連接CM．

①求線段MK長(zhǎng)度的最大值；

②當(dāng)△CMH為等腰三角形時(shí)，求拋物線向右平移的距離m和此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；( （2）① ②當(dāng)m＝1時(shí)，M（2，3）；當(dāng)m＝5﹣2時(shí)，M．

【解析】

（1）利用點(diǎn)A，B的坐標(biāo)得到拋物線的解析式，并將其整理成頂點(diǎn)式，即可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）①關(guān)鍵是證明∽得到MK=，化斜為直，只需MH長(zhǎng)度最大時(shí)，MK長(zhǎng)度最大，設(shè)M(x，﹣x2++2）,H(x，﹣x+2），MH長(zhǎng)度的最大值轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題即可求解；

②△CMH為等腰三角形，分三種情況：（ⅰ）當(dāng)CM＝CH時(shí)，（ii）當(dāng)HC＝HM時(shí),（iii）當(dāng)CM＝HM時(shí)，分別利用其相應(yīng)的幾何特征建立方程求解得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，代入平移后的解析式中求得m的值．

解：（1）當(dāng)x＝0時(shí)，y＝ax2+bx+2＝2，

∴拋物線經(jīng)過(guò)（0，2），

∵拋物線y＝ax2+bx+2（a≠0）與x軸交于A（4，0）、B（﹣1，0）兩點(diǎn)，

設(shè)拋物線的表達(dá)式為：y＝a（x﹣4）（x+1），

把（0，2）代入得：2＝a（0﹣4）（0+1），

a＝﹣，

∴y＝﹣（x﹣4）（x+1）＝﹣x2++2＝﹣（x﹣）2+，

∴拋物線的表達(dá)式為：，頂點(diǎn)坐標(biāo)是(

(2)①設(shè)直線AC的表達(dá)式為：y＝kx+b，

把A（4，0）、C（0，2）代入得：，

解得：，

∴直線AC的解析式為：y＝﹣x+2，

，

∽，

，

設(shè)M(x，﹣x2++2）,H(x，﹣x+2）由題知

MK==[﹣x2++2-(﹣x+2)]=[-]

當(dāng)x=2時(shí)，MK最大等于

②∵△CMH為等腰三角形，分三種情況：

（ⅰ）當(dāng)CM＝CH時(shí)，C是MH垂直平分線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CP⊥MH，則MP=PH，

且由圖可知OC=PG=2

∴GH+GM=PG-PH+PG+MP=2PG=2OC

∴GH+GM＝4，

則﹣x2++2+（﹣x+2）＝4，解得：x1＝0（舍），x2＝2，

∴M（2，3），

設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（2，3）代入得：m＝1．

（ⅱ）當(dāng)HC＝HM時(shí)，HM＝﹣x2+x+2﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x，

CH2＝，CH＝，

∴＝﹣x2+2x，解得x1＝0（舍），x2＝4﹣，

∴M（4﹣，﹣），

設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（4﹣，﹣）代入得：m1＝0（舍），m2＝5﹣2；

（ⅲ）當(dāng)CM＝HM時(shí)，HM＝﹣x2+2x，CM2＝，

則＝， 解得x＝，

∴M（，），

設(shè)平移后的拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣（x﹣﹣m）2+，

把M（，）代入得：m＝0（舍）；

綜上所述，當(dāng)m＝1時(shí)，M（2，3）；當(dāng)m＝5﹣2時(shí)，M（4﹣，﹣）．