Question

【題目】已知：如圖，直線a∥b，直線c與直線a、b分別相交于C、D兩點(diǎn)，直線d與直線a、b分別相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線AB上運(yùn)動(dòng)(不與A、B兩點(diǎn)重合)．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，總有：∠CPD＝∠PCA+∠PDB，請(qǐng)說明理由；

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠PCA、∠PDB之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在線段BA的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠CPD、∠PCA、∠PDB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系(只需直接給出結(jié)論)？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠CPD=∠PCA﹣∠PDB．理由見解析；（3）∠CPD=∠PDB﹣∠PCA．

【解析】

（1）過點(diǎn)P作a的平行線，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解；

（2）過點(diǎn)P作b的平行線PE，由平行線的性質(zhì)可得出a∥b∥PE，由此即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，由三角形外角的性質(zhì)可得出∠1+∠3=∠PFA，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

（1）證明：如圖1，過點(diǎn)P作PE∥a，則∠1=∠CPE．

∵a∥b，PE∥a，

∴PE∥b，

∴∠2=∠DPE，

∴∠3=∠1+∠2，

即∠CPD=∠PCA+∠PDB；

（2）∠CPD=∠PCA-∠PDB．

理由：如圖2，過點(diǎn)P作PE∥b，則∠2=∠EPD，

∵直線a∥b，

∴a∥PE，

∴∠1=∠EPC，

∵∠3=∠EPC-∠EPD，

∴∠3=∠1-∠2，

即∠CPD=∠PCA-∠PDB；

（3）∠CPD=∠PDB-∠PCA．

證明：如圖3，設(shè)直線AC與DP交于點(diǎn)F，

∵∠PFA是△PCF的外角，

∴∠PFA=∠1+∠3，

∵a∥b，

∴∠2=∠PFA，

∴∠2=∠1+∠3，

∴∠3=∠2-∠1，

即∠CPD=∠PDB-∠PCA．