Question

已知a為正整數(shù)a=b-2005，若關(guān)于x的方程x²-ax+b=0有正整數(shù)解，則a的最小值是多少？
（溫馨提示：先設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，然后…）

Answer 1

分析：先設(shè)方程的兩根為x₁，x₂，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系求得（x₁-1）（x₂-1）=2006=2×17×59；最后由條件“a為正整數(shù)、關(guān)于x的方程x²-ax+b=0有正整數(shù)解”求得x₁-1=2、x₂-1=17×59；
x₁-1=2×17、x₂-1=59；或x₁-1=17，x₂-1=2×59，從而推知a的最小值是93．

解答：解：設(shè)方程的兩根分別為x₁，x₂，則

x1+x2=a x1•x2=b

，
∵x₁，x₂，中有一個為正整數(shù)，則另一個也必為正整數(shù)，不妨設(shè)x₁≤x₂，則由上式，得
x₁•x₂-（x₁+x₂）=b-a=2005，
∴（x₁-1）（x₂-1）=2006=2×17×59，
∴x₁-1=2、x₂-1=17×59；x₁-1=2×17、x₂-1=59；或x₁-1=17，x₂-1=2×59，
∴x₁+x₂的最小值是2×17+59+1+1=95，即a的最小值是95．

點評：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．