Question

在平面上有過同一點P，并且半徑相等的n個圓，其中任何兩個圓都有兩個交點，任何三個圓除P點外無其他公共點，那么試問：
（1）這n個圓把平面劃分成多少個平面區(qū)域？
（2）這n個圓共有多少個交點？

Answer 1

分析：（1）在圖中，設以P點為公共點的圓有1，2，3，4，5個（取這n個特定的圓），觀察平面被它們所分割成的平面區(qū)域有多少個？為此，我們列出表．

（2）與（1）一樣，同樣用觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的方法來解決．為此，可列出表．

解答：解：（1）由分析的表易知
S₂-S₁=2，
S₃-S₂=3，
S₄-S₃=4，
S₅-S₄=5，
…
由此，不難推測：S_n-S_n-1=n．
把上面（n-1）個等式左、右兩邊分別相加，就得到：S_n-S₁=2+3+4+…+n，
因為S₁=2，所以S_n=2+2+3+4+…+n=1+（1+2+3+4+…+n）=1+

n(n+1)

2

=

n2+n+2

2

．
∴n個圓過P點時，可把平面劃分成

n2+n+2

2

個平面區(qū)域；

（2）由表容易發(fā)現(xiàn)
a₁=1，
a₂-a₁=1，
a₃-a₂=2，
a₄-a₃=3，
a₅-a₄=4，
…
a_n-1-a_n-2=n-2，
a_n-a_n-1=n-1．
n個式子相加a_n=1+（1+2+3+4+…+n-1）=1+

(n-1)n

2

=

n2-n+2

2

．
∴這n個圓共有

n2-n+2

2

個交點．

點評：本題考查了規(guī)律型：圖形的變化，解題關鍵是由特殊到一般，其中第（1）題因為S_n-1為n-1個圓把平面劃分的區(qū)域數(shù)，當再加上一個圓，即當n個圓過定點P時，這個加上去的圓必與前n-1個圓相交，所以這個圓就被前n-1個圓分成n部分，加在S_n-1上，所以有S_n=S_n-1+n．