Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，D為△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC，直線AB于點(diǎn)E，F.

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，通過(guò)觀察分析線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上，其他條件不變時(shí)，試猜想線段DE、DF、AB之間的數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)直接寫(xiě)出等式，不需證明）；

（3）如圖3，當(dāng)點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)D作DE∥AB，DF∥AC分別交直線AC，直線AB和直線BC于E、F和G. 試猜想線段DE、DF、DG與AB之間的數(shù)量關(guān)系（請(qǐng)直接寫(xiě)出等式，不需證明）.

Answer 1

【答案】(1)DE＋DF＝AB.理由見(jiàn)解析； (2) ①當(dāng)點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上時(shí)， AB＝DE－DF；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，AB＝DE＋DF；③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)， AB＝DF－DE.(3)AB＝DE＋DG＋DF.

【解析】

（1）如圖1，先根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形得出四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF．再根據(jù)平行線及等腰三角形的性質(zhì)得出∠FDB=∠B，由等角對(duì)等邊得到DF=FB，從而證明DE+DF=AF+FB=AB；

（2）當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)，分三種情況：
①當(dāng)點(diǎn)D在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DE=AF，再證明∠FDB=∠FBD，由等角對(duì)等邊得到DF=FB，從而證明AB=AF-BF=DE-DF；
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，如圖1，AB=DE+DF；
③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠CDE=∠DCE，由等角對(duì)等邊得到CE=DE，再證明從而證明AB=AC=AE-CE=DF-DE；

（3）如圖3，先證明四邊形AEDF是平行四邊形，則DF=AE，再證明∠EGC=∠C，由等角對(duì)等邊得到DE+DG=CE，從而證明AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．

（1）DE+DF=AB. 理由如下：

如圖1，∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DE=AF.

∵DF∥AC，

∴∠FDB=∠C，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠FDB=∠B，

∴DF=FB，

∴DE+DF=AF+FB=AB；

（2）

①當(dāng)點(diǎn)D在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4，AB=DE-DF；

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DE=AF.

∴∠FDB=∠BCA，

∵AB=AC，

∴∠BCA =∠B，

∴∠FDB=∠B=∠DBF，

∴DF=FB，

∴AB=AF-BF=DE-DF；；

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，同題（1），AB=DE+DF；

③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，AB=DF-DE；

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DF=AE.

∴∠CDE=∠B，

∵AB=AC，

∴∠BCA =∠B=∠DCE ，

∴∠CDE=∠DCE，

∴CE=DE，

∴AB=AC=AE-CE=DF-DE；；

（3）AB=DE+DG+DF.

∵DE∥AB，DF∥AC，

∴四邊形AEDF是平行四邊形，

∴DF=AE，

∵DE∥AB，

∴∠EGC=∠B，

∵AB=AC，

∴∠C=∠B，

∴∠C=∠EGC，

∴EG=EC，即DE+DG=CE，

∴AB=AC=EC+AE=DE+DG+DF．

故答案為：（1）DE+DF=AB. 理由見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)點(diǎn)D在BC的反向延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖4見(jiàn)解析，AB=DE-DF；②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，同題（1），AB=DE+DF；③當(dāng)點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5見(jiàn)解析，AB=DF-DE；（3）AB=DE+DG+DF.