(1)如圖,矩形ABCD中,AB=5cm,BC=2cm,在AB邊上取一點(diǎn)E,(點(diǎn)E與A,B不重合),連接CE、DE,分矩形ABCD所成的3個(gè)三角形都相似.我們把這樣的點(diǎn)E叫做矩形ABCD的AB邊上的全相似點(diǎn),在圖的AB邊上畫出滿足要求的全相似點(diǎn)E,并求AE的長(zhǎng);(畫圖工具不限,可以簡(jiǎn)單說(shuō)明)
(2)對(duì)于任意一個(gè)矩形ABCD,AB邊上是否一定存在這樣的全相似點(diǎn)E?如果一定存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;如果不一定存在,請(qǐng)舉例說(shuō)明;
(3)在四邊形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,∠B=90°,當(dāng)點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的一個(gè)全相似點(diǎn)時(shí).請(qǐng)?zhí)骄浚篈E與BE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
分析:(1)根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠A=∠B=∠CED,作以CD為直徑的圓,與AB的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)E,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可得到AE的值;
(2)根據(jù)(1)的作法,若矩形的寬大于長(zhǎng)的一半,則圓與另一邊沒(méi)有交點(diǎn),也就不存在全相似點(diǎn);
(3)根據(jù)全相似點(diǎn)的定義可得△ADE和△BEC相似,再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可.
解答:解:(1)如圖,在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°,
∵三個(gè)三角形都相似,
∴∠CED=90°,
以CD為直徑作⊙O,與AB相交,交點(diǎn)即為點(diǎn)E,
設(shè)AE=x,則BE=AB-AE=5-x,
∵△ADE∽△BEC,
AE
BC
=
AD
BE

x
2
=
2
5-x
,
整理得,x1=1,x2=4,
所以,AE的長(zhǎng)為1cm或4cm;

(2)由(1)可知,當(dāng)矩形的長(zhǎng)AB<2AD時(shí),圓與AB沒(méi)有交點(diǎn),所以AB邊上不存在這樣的全相似點(diǎn)E;

(3)AE與BE的數(shù)量關(guān)系為:AE•BE=AD•BC.
理由如下:如圖,∵點(diǎn)E是四邊形ABCD的AB邊上的一個(gè)全相似點(diǎn),
∴△ADE∽△BEC,
AD
BE
=
AE
BC

∴AE•BE=AD•BC.
點(diǎn)評(píng):本題是相似三角形綜合題,主要考查了相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì),讀懂題目信息,理解全相似點(diǎn)的定義,判斷出∠CED=90°,從而確定作以CD為直徑的圓是解題的關(guān)鍵.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB為直徑的半圓O與DC相切于點(diǎn)E,則陰影部分的面積為
 
.(結(jié)果保留π)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,矩形ABCD的周長(zhǎng)為12cm,E為BC的中點(diǎn),AE⊥ED于點(diǎn)E,則AB=
 
cm.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,矩形ABCD的邊AD在y軸上,AD的中點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,AB=1,AD=2,過(guò)定點(diǎn)P(3,0)和y軸上的動(dòng)點(diǎn)E(0,b)的直線與矩形ABCD的邊有公共點(diǎn),則b的取值范圍是
-
3
2
≤b≤
3
2
-
3
2
≤b≤
3
2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•寧德)如圖,矩形OBCD的邊OD、OB分別在x軸正半軸和y軸的負(fù)半軸上,且OD=10,OB=8,將矩形的邊BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)C恰好與x軸上的點(diǎn)A重合
(1)直接寫出點(diǎn)A、B的坐標(biāo):A(
6
6
0
0
)、B(
0
0
,
-8
-8
);
(2)若拋物線y=-
1
3
x2+bx+c經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn),則這條拋物線的解析式是
y=-
1
3
x2+
10
3
x-8
y=-
1
3
x2+
10
3
x-8
;
(3)若點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),作MN⊥x軸于點(diǎn)N,問(wèn)是否存在點(diǎn)M,使△AMN與△ACD相似?若存在,求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由;
(4)當(dāng)
7
2
≤x≤7時(shí),在拋物線上存在點(diǎn)P,使△ABP得面積最大,求△ABP面積的最大值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,矩形紙片ABCD中,AB=4cm,BC=8cm,現(xiàn)將紙片折疊壓平,使A與C重合,設(shè)折痕為EF,則重疊部分△AEF的面積等于
10
10

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案