Question

【題目】如圖，長(zhǎng)方形AOBC在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B在x軸上，已知點(diǎn)C的坐標(biāo)是（8，4）．

（1）對(duì)角線AB的垂直平分線MN交x軸于點(diǎn)M，連接AM，求線段AM的長(zhǎng)；

（2）在x軸上是否存在一個(gè)點(diǎn)P，使△PAM為等腰三角形？如果有請(qǐng)直接寫出符合題意的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）AM=5；（2）△PAM為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3，0）或（-2，0）或（8，0或（-，0）.

【解析】

（1）設(shè)AM=x，則BM=x，OM=8-x，根據(jù)勾股定理列方程得：AO2+OM2=AM2，則42+（8-x）2=x2，解出即可；

（2）△PAM為等腰三角形時(shí)，分情況進(jìn)行討論：①以A為圓心，以AM為半徑畫圓；②以M為圓心，以MA為半徑，畫圓；③作AM的垂直平分線；確定點(diǎn)P的位置，分別計(jì)算可得結(jié)論．

（1）由題意得：OA=4，OB=8，

∵MN是AB的垂直平分線，

∴AM=BM，

設(shè)AM=x，則BM=x，OM=8-x，

Rt△AOM中，由勾股定理得：AO2+OM2=AM2，

∴42+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

∴AM=5；

（2）如圖，①當(dāng)AP1=AM=5時(shí)，OM=OP1=3，此時(shí)P1（-3，0）；

②當(dāng)AM=P2M=P3M=5時(shí)，此時(shí)P2（-2，0），P3（8，0）；

③如圖，作AM的垂直平分線，交AM于E，交x軸于P4，

∴EM=，

sin∠EP4M==sin∠OAM=，

∴P4M=，

∴OP4=-3=，此時(shí)P4（-，0），

綜上，△PAM為等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-3，0）或（-2，0）或（8，0）或（-，0）