Question

【題目】綜合與探究：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).過動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，直線與拋物線相交于點(diǎn)，.線段的中點(diǎn)為.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）若，且點(diǎn)到軸的距離正好等于時(shí)，求的值；

（3）直線上是否存在一點(diǎn)，使得是以為直角邊的等腰直角三角形？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）的值為；（3）存在，的值為4或2

【解析】

(1)把和點(diǎn)坐標(biāo)分別代入表達(dá)式求出即可；

(2)因?yàn)榫�段的中點(diǎn)為，所以點(diǎn)H在拋物線的對稱軸上，進(jìn)而得出點(diǎn)H的坐標(biāo)，可以得出E、F點(diǎn)的坐標(biāo)，把其坐標(biāo)代入表達(dá)式解出m值即可;

(3)使得是以為直角邊的等腰直角三角形重點(diǎn)明白有幾種情況，求解時(shí)利用全等三角形知識(shí)點(diǎn)易得m的值.

（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，

∴，

解得.

∴拋物線的表達(dá)式為.

（2）∵.

∴拋物線的對稱軸為直線.

∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∴點(diǎn)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，.

∵點(diǎn)在拋物線上，

∴.

解得或（不合題意，舍去）.

∴的值為.

（3）①當(dāng)點(diǎn)C為等腰直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，如下圖所示：

∵

∴

在和中

∴

∴

∴

②當(dāng)點(diǎn)B為等腰直角三角形的頂點(diǎn)時(shí)，如下圖所示：

過點(diǎn)作軸垂足為

同理可得

∴

∴

綜上所述：的值為4或2.