【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與一直線相交于A(﹣1,0),C(2,3)兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)N,其頂點(diǎn)為D,
(1)拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點(diǎn)B,E為直線AC上的任意一點(diǎn),過點(diǎn)E作EF∥BD交拋物線于點(diǎn)F,以B,D,E,F為頂點(diǎn)的四邊形能否為平行四邊形?若能,求點(diǎn)E的坐標(biāo);若不能,請說明理由;
(3)若P是拋物線上位于直線AC上方的一個(gè)動點(diǎn),直接寫出△APC的面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3,y=x+1;(2)存在,滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1),( ,)或(,);(3)S△APC的最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).
【解析】
(1)根據(jù)點(diǎn)A,B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法即可求出拋物線及直線AC的函數(shù)關(guān)系式;
(2)利用配方法及一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,可求出點(diǎn)B,D的坐標(biāo),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,x+1),分點(diǎn)E在線段AC上及點(diǎn)E在線段AC(或CA)延長線上兩種情況考慮:①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E上方,由BD的長結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,x+3),再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出x的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC(或CA)延長線上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E下方,由BD的長結(jié)合點(diǎn)E的坐標(biāo)可得出點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,x﹣1),再利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征可求出x的值,進(jìn)而可得出點(diǎn)E的坐標(biāo).綜上,此問得解;
(3)過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN⊥x軸,垂足為N,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,﹣x2+2x+3)(﹣1<x<2),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,0),結(jié)合點(diǎn)A,C的坐標(biāo)及S△APC=S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN,可得出S△APC關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題.
解:(1)將A(﹣1,0),C(2,3)代入y=﹣x2+bx+c,得:
,解得:,
∴拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=﹣x2+2x+3.
設(shè)直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+a(k≠0),
將A(﹣1,0),C(2,3)代入y=kx+a,得:
$$,解得:,
∴直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+1.
(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4).
當(dāng)x=1時(shí),y=x+1=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2).
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(x,x+1).
分兩種情況考慮(如圖1):
①當(dāng)點(diǎn)E在線段AC上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E上方,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,x+3).
∵點(diǎn)F在拋物線上,
∴x+3=﹣x2+2x+3,
解得:x1=0,x2=1(舍去),
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1);
②當(dāng)點(diǎn)E在線段AC(或CA)延長線上時(shí),點(diǎn)F在點(diǎn)E下方,
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(x,x﹣1).
∵點(diǎn)F在拋物線上,
∴x﹣1=﹣x2+2x+3,
解得:,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為()或(,).
綜上:滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,1),()或(,).
(3)過點(diǎn)P作PM⊥x軸,垂足為點(diǎn)M,過點(diǎn)C作CN⊥x軸,垂足為N,如圖2所示.
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,﹣x2+2x+3)(﹣1<x<2),則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,0).
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3),
∴AM=x+1,MN=2﹣x,PM=﹣x2+2x+3,CN=3,AN=3,
∴S△APC=S△APM+S梯形PMNC﹣S△ACN,
.
∴當(dāng)x=時(shí),S△APC取得最大值,最大值為,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為().
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明、小聰參加了跑的5期集訓(xùn),每期集訓(xùn)結(jié)束市進(jìn)行測試,根據(jù)他們的集訓(xùn)時(shí)間、測試成績繪制成如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖:
根據(jù)圖中信息,解答下列問題:
(1)這5期的集訓(xùn)共有多少天?小聰5次測試的平均成績是多少?
(2)根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù),結(jié)合體育運(yùn)動的實(shí)際,從集訓(xùn)時(shí)間和測試成績這兩方面,說說你的想法.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等邊三角形ABC中,點(diǎn)P是BC邊上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),連接AP,作射線PD,使∠APD=60°,PD交AC于點(diǎn)D,已知AB=a,設(shè)CD=y,BP=x,則y與x函數(shù)關(guān)系的大致圖象是( 。
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是將菱形ABCD以點(diǎn)O為中心按順時(shí)針方向分別旋轉(zhuǎn)90°,180°,270°后形成的圖形.若∠BAD=60°,AB=2,則圖中陰影部分的面積為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,某數(shù)學(xué)興趣小組為測量一棵古樹BH和教學(xué)樓CG的高,先在A處用高1.5米的測角儀測得古樹頂端H的仰角∠HDE為37°,此時(shí)教學(xué)樓頂端G恰好在視線DH上,再向前走8米到達(dá)B處,又測得教學(xué)樓頂端G的仰角∠GEF為45°,點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)在同一水平線上.
(1)求古樹BH的高;
(2)計(jì)算教學(xué)樓CG的高度.
(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)、移動終端的迅速發(fā)展,數(shù)字化閱讀越來越普及,公交、地鐵上的“低頭族”越來越多.某研究機(jī)構(gòu)針對“您如何看待數(shù)字化閱讀”問題進(jìn)行了隨機(jī)問卷調(diào)查(問卷調(diào)查表如下圖所示),并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1和圖2所示的統(tǒng)計(jì)圖(均不完整).請根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)本次接受調(diào)查的共有多少人?
(2)在接受調(diào)查的人當(dāng)中,請求出選擇“觀點(diǎn)”的人數(shù),并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“觀點(diǎn)”對應(yīng)的圓心角為多少度?
(4)現(xiàn)在你是該研究機(jī)構(gòu)的研究員,根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果,你分別從選擇“觀點(diǎn)、觀點(diǎn)、觀點(diǎn)、觀點(diǎn)的調(diào)查人員中,每項(xiàng)隨機(jī)抽取1人,再從這4人中,任選2人進(jìn)行個(gè)別座談,請用列表法成樹狀圖法求選取的兩人恰好是選擇“觀點(diǎn)、觀點(diǎn)”的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,有一個(gè)可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤,其盤面分為4等份,在每一等份分別標(biāo)有對應(yīng)的數(shù)字2,3,4,5.小明打算自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤10次,現(xiàn)已經(jīng)轉(zhuǎn)動了8次,每一次停止后,小明將指針?biāo)笖?shù)字記錄如下:
次數(shù) | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次 | 第6次 | 第7次 | 第8次 | 第9次 | 第10次 |
數(shù)字 | 3 | 5 | 2 | 3 | 3 | 4 | 3 | 5 |
(1)求前8次的指針?biāo)笖?shù)字的平均數(shù).
(2)小明繼續(xù)自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次,判斷是否可能發(fā)生“這10次的指針?biāo)笖?shù)字的平均數(shù)不小于3.3,且不大于3.5”的結(jié)果?若有可能,計(jì)算發(fā)生此結(jié)果的概率,并寫出計(jì)算過程;若不可能,說明理由.(指針指向盤面等分線時(shí)為無效轉(zhuǎn)次.)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解學(xué)生的課外閱讀情況,七(1)班針對“你最喜愛的課外閱讀書目”進(jìn)行調(diào)查(每名學(xué)生必須選一類且只能選一類閱讀書目),并根據(jù)調(diào)查結(jié)果列出統(tǒng)計(jì)表,繪制成扇形統(tǒng)計(jì)圖.
男、女生所選類別人數(shù)統(tǒng)計(jì)表
類別 | 男生(人) | 女生(人) |
文學(xué)類 | 12 | 8 |
史學(xué)類 | 5 | |
科學(xué)類 | 6 | 5 |
哲學(xué)類 | 2 |
根據(jù)以上信息解決下列問題
(1) , ;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中“科學(xué)類”所對應(yīng)扇形圓心角度數(shù)為 ;
(3)從選哲學(xué)類的學(xué)生中,隨機(jī)選取兩名學(xué)生參加學(xué)校團(tuán)委組織的辯論賽,請用樹狀圖或列表法求出所選取的兩名學(xué)生都是男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】今年5月15日,亞洲文明對話大會在北京開幕.為了增進(jìn)學(xué)生對亞洲文化的了解,某學(xué)校開展了相關(guān)知識的宣傳教育活動。為了解這次宣傳活動的效果,學(xué)校從全校1200名學(xué)生中隨機(jī)抽取100名學(xué)生進(jìn)行知識測試(測試滿分100分,得分均為整數(shù)),并根據(jù)這100人的測試成績,制作了如下統(tǒng)計(jì)圖表。
100名學(xué)生知識測試成績的頻數(shù)表
成績(分) | 頻數(shù)(人) |
10 | |
15 | |
40 | |
15 |
由圖表中給出的信息回答下列問題:
(1)________,并補(bǔ)全額數(shù)直方圖________;
(2)小明在這次測試中成績?yōu)?/span>85分,你認(rèn)為85分一定是這100名學(xué)生知識測試成績的中位數(shù)嗎?請簡要說明理由;
(3)如果80分以上(包括80分)為優(yōu)秀,請估計(jì)全校1200名學(xué)生中成績優(yōu)秀的人數(shù).
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