Question

【題目】在邊長為5的正方形ABCD中，點E，F分別是BC，DC邊上的兩個動點（不與點B，C，D重合），且AE⊥EF．

（1）如圖1，當BE＝2時，求FC的長；

（2）延長EF交正方形ABCD外角平分線CP于點P．

①依題意將圖2補全；

②小京通過觀察、實驗提出猜想：在點E運動的過程中，始終有AE＝PE．小京把這個猜想與同學們進行交流，通過討論，形成了證明該猜想的三種想法：

想法1：在AB上截取AG＝EC，連接EG，要證AE＝PE，需證△AGE≌△ECP．

想法2：作點A關于BC的對稱點H，連接BH，CH，EH．要證AE＝PE，需證△EHP為等腰三角形．

想法3：將線段BE繞點B順時針旋轉90°，得到線段BM，連接CM，EM，要證AE＝PE，需證四邊形MCPE為平行四邊形．

請你參考上面的想法，幫助小京證明AE＝PE．（一種方法即可）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）根據正方形的性質求出EC，證明△ABE∽△ECF，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可；
（2）①根據題意畫圖；
②在AB上截取AG=EC，連接EG，證明△AGE≌△ECP，根據全等三角形的性質證明．

解：（1）∵正方形ABCD的邊長為5，BE＝2，

∴EC＝3．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠B＝∠C＝90°，

∴∠BAE+∠AEB＝90°，

∵AE⊥EF，

∴∠FEC+∠AEB＝90°，

∴∠BAE＝∠CEF．

∴△AGE∽△ECF，

∴，即，

∴FC＝；

（2）①依題意補全圖形：

②證明：在AB上截取AG＝EC，連接EG．

∵AB＝BC，

∴GB＝EB．

∵∠B＝90°，

∴∠BGE＝45°，

∴∠AGE＝135°．

∵∠DCB＝90°，CP是正方形ABCD外角平分線，

∴∠ECP＝135°．

∴∠AGE＝∠ECP．

在△AGE和△ECP中，

，

∴△AGE≌△ECP．

∴AE＝PE．