Question

【題目】在四邊形ABCD中，點E是線段AC上一點，BE∥CD，∠BEC＝∠BAD．

（1）如圖1已知AB＝AD；

①找出圖中與∠DAC相等的角，并給出證明；

②求證：AE＝CD；

（2）如圖2，若BC∥ED，，∠BEC＝45°，求tan∠ABE的值．

Answer 1

【答案】（1）①∠ABE＝∠CAD，理由詳見解析；②詳見解析；（2）.

【解析】

（1）①證明△ABE≌△DAF，關(guān)鍵全等三角形的性質(zhì)證明；

②根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明結(jié)論；

（2）過點D作DG⊥CD交AC于點G，證明△ABE∽△DAG，得到＝＝，根據(jù)正切的定義計算，得到答案．

解：（1）①∠ABE＝∠CAD，

理由如下：以D為圓心，DC為半徑畫圓，交AC于F，連接DF，

則CD＝DF，

∴∠DFC＝∠DCF，

∵BE∥CD，

∴∠BEC＝∠FCD，

∴∠BEC＝∠DFC，

∴∠AEB＝∠AFD，

∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴∠ABE＝∠CAD，

②∵△ABE≌△DAF，

∴AE＝DF，

∵CD＝DF，

∴AE＝CD；

（3）過點D作DG⊥CD交AC于點G，

∵BE∥CD，

∴∠DCA＝∠BEC＝45°，

∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，

∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，

∴△ABE∽△DAG，

∴＝＝，

∵BC∥DE，BE∥CD，

∴四邊形BCDE為平行四邊形，

∴BE＝CD，

過點A作AH垂直于BE交BE的延長線于點H，

設(shè)AH＝EH＝m，

則AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，

∴BH＝BE+EH＝2m+m，

tan∠ABE＝＝＝．

故答案為：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由詳見解析；②詳見解析；（2）.