Question

【題目】如圖，將矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形AB′C′D′，點 C的對應點 C′恰好落在CB的延長線上，邊AB交邊 C′D′于點E．

（1）求證：BC＝BC′；

（2）若 AB＝2，BC＝1，求AE的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）AE=．

【解析】

（1）連結(jié) AC、AC′，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到∠ABC＝90°，即 AB⊥CC′， 根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到 BC′＝AD′，AD＝AD′，證得 BC′＝AD′，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 BE＝D′E，設 AE＝x，則 D′E＝2﹣x，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結(jié)論．

解：：（1）連結(jié) AC、AC′，

∵四邊形 ABCD為矩形，

∴∠ABC＝90°，即 AB⊥CC′，

∵將矩形 ABCD 繞點A順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形 AB′C′D′，

∴AC＝AC′，

∴BC＝BC′；

（2）∵四邊形 ABCD 為矩形，

∴AD＝BC，∠D＝∠ABC′＝90°，

∵BC＝BC′，

∴BC′＝AD′，

∵將矩形 ABCD 繞點 A 順時針旋轉(zhuǎn)，得到矩形 AB′C′D′，

∴AD＝AD′，

∴BC′＝AD′，

在△AD′E 與△C′BE中

∴△AD′E≌△C′BE，

∴BE＝D′E，

設 AE＝x，則 D′E＝2﹣x，

在 Rt△AD′E 中，∠D′＝90°，

由勾定理，得 x2﹣（2﹣x）2＝1，

解得 x＝，

∴AE＝ ．