Question

【題目】如圖，正方形OABC的頂點O與原點重合，點A，C分別在x軸與y軸的正半軸上，點A的坐標為（4，0），點D在邊AB上，且tan∠AOD＝，點E是射線OB上一動點，EF⊥x軸于點F，交射線OD于點G，過點G作GH∥x軸交AE于點H．

（1）求B，D兩點的坐標；

（2）當點E在線段OB上運動時，求∠HDA的大小；

（3）以點G為圓心，GH的長為半徑畫⊙G．是否存在點E使⊙G與正方形OABC的對角線所在的直線相切？若不存在，請說明理由；若存在，請求出所有符合條件的點E的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B（4，4），D（4，2）；（2）45°；（3）存在，符合條件的點為（8﹣4，8﹣4）或（8+4，8+4）或或，理由見解析

【解析】

（1）由正方形性質知AB=OA=4，∠OAB=90°，據此得B（4，4），再由tan∠AOD= 得AD=OA=2，據此可得點D坐標；

（2）由知GF=OF，再由∠AOB=∠ABO=45°知OF=EF，即GF=EF，根據GH∥x軸知H為AE的中點，結合D為AB的中點知DH是△ABE的中位線，即HD∥BE，據此可得答案；
（3）分⊙G與對角線OB和對角線AC相切兩種情況，設PG=x，結合題意建立關于x的方程求解可得．

解：（1）∵A（4，0），

∴OA＝4，

∵四邊形OABC為正方形，

∴AB＝OA＝4，∠OAB＝90°，

∴B（4，4），

在Rt△OAD中，∠OAD＝90°，

∵tan∠AOD＝，

∴AD＝OA＝×4＝2，

∴D（4，2）；

（2）如圖1，在Rt△OFG中，∠OFG＝90°

∴tan∠GOF＝＝，即GF＝OF，

∵四邊形OABC為正方形，

∴∠AOB＝∠ABO＝45°，

∴OF＝EF，

∴GF＝EF，

∴G為EF的中點，

∵GH∥x軸交AE于H，

∴H為AE的中點，

∵B（4，4），D（4，2），

∴D為AB的中點，

∴DH是△ABE的中位線，

∴HD∥BE，

∴∠HDA＝∠ABO＝45°．

（3）①若⊙G與對角線OB相切，

如圖2，當點E在線段OB上時，

過點G作GP⊥OB于點P，設PG＝x，可得PE＝x，EG＝FG＝x，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2x，

∵G為EF的中點，H為AE的中點，

∴GH為△AFE的中位線，

∴GH＝AF＝×（4﹣2x）＝2﹣x，

則x＝2﹣x，

解得：x＝2﹣2，

∴E（8﹣4，8﹣4），

如圖3，當點E在線段OB的延長線上時，

x＝x﹣2，

解得：x＝2+，

∴E（8+4，8+4）；

②若⊙G與對角線AC相切，

如圖4，當點E在線段BM上時，對角線AC，OB相交于點M，

過點G作GP⊥OB于點P，設PG＝x，可得PE＝x，

EG＝FG＝x，

OF＝EF＝2x，

∵OA＝4，

∴AF＝4﹣2x，

∵G為EF的中點，H為AE的中點，

∴GH為△AFE的中位線，

∴GH＝AF＝×（4﹣2x）＝2﹣x，

過點G作GQ⊥AC于點Q，則GQ＝PM＝3x﹣2，

∴3x﹣2＝2﹣x，

∴，

∴；

如圖5，當點E在線段OM上時，

GQ＝PM＝2﹣3x，則2﹣3x＝2﹣x，

解得，

∴；

如圖6，當點E在線段OB的延長線上時，

3x﹣2＝x﹣2，

解得：（舍去）；

綜上所述，符合條件的點為（8﹣4，8﹣4）或（8+4，8+4）或或．