Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線的頂點(diǎn)為A(2，)，拋線物與y軸交于點(diǎn)B(0，)，點(diǎn)C在其對(duì)稱軸上且位于點(diǎn)A下方，將線段AC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在拋物線上的點(diǎn)P處．

(1)求拋物線的解析式；

(2)求線段AC的長(zhǎng)；

(3)將拋物線平移，使其頂點(diǎn)A移到原點(diǎn)O的位置，這時(shí)點(diǎn)P落在點(diǎn)D的位置，如果點(diǎn)M在y軸上，且以O，C，D，M為頂點(diǎn)的四邊形的面積為8，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣(x﹣2)2+；(2)2；(3)M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)或(0，﹣)

【解析】

（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）2+，將點(diǎn)B坐標(biāo)代入可求a的值，即可求解；
（2）設(shè)AC=t，則點(diǎn)C（2，-t），利用參數(shù)t表示點(diǎn)P坐標(biāo)，代入解析式可求解；
（3）由平移的性質(zhì)可求點(diǎn)D坐標(biāo)，由面積公式可求解．

解：(1)設(shè)拋物線的解析式為：y＝a(x﹣2)2+，

∵拋線物與y軸交于點(diǎn)B(0，)，

∴＝a(0﹣2)2+，

∴a＝﹣

∴物線的解析式為：y＝﹣(x﹣2)2+；

(2)∵頂點(diǎn)A(2，)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2，

∴設(shè)AC＝t，則點(diǎn)C(2，﹣t)，

∵將線段AC繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A落在拋物線上的點(diǎn)P處．

∴∠ACP＝90°，AC＝PC＝t，

∴點(diǎn)P(2+t，﹣t)，

∵點(diǎn)P在拋物線上，

∴﹣t＝﹣(2+t﹣2)2+，

∴t1＝0(不合題意舍去)，t2＝2，

∴線段AC的長(zhǎng)為2；

(3)∵AC＝2，P點(diǎn)坐標(biāo)為(4，)，C點(diǎn)坐標(biāo)為(2，)，

∵拋物線平移，使其頂點(diǎn)A(2，)移到原點(diǎn)O的位置，

∴拋物線向左平移2個(gè)單位，向下平移個(gè)單位，

而P點(diǎn)(4，)向左平移2個(gè)單位，向下平移個(gè)單位得到點(diǎn)D，

∴D點(diǎn)坐標(biāo)為(2，﹣2)，

設(shè)M(0，m)，

當(dāng)m＞0時(shí)，(m++2)2＝8，解得m＝，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；

當(dāng)m＜0時(shí)，(﹣m++2)2＝8，解得m＝﹣，此時(shí)M點(diǎn)坐標(biāo)為(0，﹣)；

綜上所述，M點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，)或(0，﹣)．