Question

【題目】已知二次函數(shù)的圖象對(duì)稱軸為，圖象交x軸于A，B，交y軸于，且，直線與二次函數(shù)圖象交于M，在N的右邊，交y軸于P．

求二次函數(shù)圖象的解析式；

若，且的面積為3，求k的值；

若，直線AN交y軸于Q，求的值或取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2）k=2（3）

【解析】

（1）由圖象對(duì)稱軸為x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），把C點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)即可求解；

（2）S△CMN=HNxM=6，用韋達(dá)定理求解即可；

（3）求出xN=，分2k﹣5＞0時(shí)和2k﹣5＜0兩種情況，求出點(diǎn)Q坐標(biāo)即可求解．

（1）由圖象對(duì)稱軸為x=，AB=5，知：A（﹣2，0）、B（3，0），設(shè) ，把代入二次函數(shù)表達(dá)式得：－3=－6a，∴a=，∴y= ，即．故函數(shù)表達(dá)式為：y=x2﹣x﹣3…①；

（2）∵b′=﹣5，∴直線MN表達(dá)式為：y=kx﹣5…②．設(shè)：N（x1，y1），M（x2，y2），將①、②聯(lián)立并整理得：x2﹣（2k+1）x+4=0，則：x1+x2=2k+1，x1x2=4，直線C（0，﹣3）、M（x2，y2）所在的直線方程為：y=，過(guò)N點(diǎn)做直線HM∥y軸，交MC于H，則H（x1，）．

∵S△CMN=HNxM=6，整理得：x1y2﹣x2y1+3x1﹣3x2=6，把y1=3x1﹣5，y2=3x2﹣5，代入上式整理得：x2﹣x1=3，即：（x1+x2）2﹣4x1x2=9，k=2或k=－3（舍去）；

（3）b′=﹣3k，直線y=kx+b=kx﹣3k…③，將①、③方程聯(lián)立并整理得：

x2﹣（2k+1）x+（6k﹣6）=0，△=4k2﹣20k+25=（2k﹣5）2＞0，xN=．

①當(dāng)2k﹣5＞0時(shí)，xN=3，則N（3，0），而Q（0，0），P（0，﹣3k），C（0，﹣3），則：CP=3k﹣3，CQ=3，∴=k﹣1，即：＞；

②當(dāng)2k﹣5＜0時(shí)，xN=2k﹣2，則N（2k﹣2，2k2﹣5k），則AN所在的直線方程為：y=，則：Q（0，2k﹣5），而C（0，﹣3），P（0，﹣3k），則：CP=3k﹣3，CQ=2k﹣2，∴=．故：≥．