Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，拋物線：過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)C.

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（2）如圖2，作拋物線，使得拋物線與恰好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)D，連接AD，CD.

①請(qǐng)直接寫出拋物線的解析式和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②求四邊形AOCD的面積；

（3）已知拋物線，的頂點(diǎn)為M，設(shè)P為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，Q為直線上一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)M，Q，P，B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）拋物線C1的解析式為：y=-x2+x+4，C（8，0）；

（2）①拋物線C2的解析式為y=x2+x-4，D（4，6）；②S四邊形AOCD=32；

（3）存在以點(diǎn)M，Q，P，B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，）或P（3，）．

【解析】

（1）先求出直線y=2x+4與x軸、y軸交點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；

（2）①根據(jù)兩拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，將拋物線C1的解析式中的x和y分別換成-x和-y，整理后即為拋物線C2的解析式；再通過(guò)解方程組求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②求四邊形AOCD的面積，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于E，將四邊形AOCD分割成一個(gè)梯形和一個(gè)直角三角形即可求得；

（3）過(guò)B作BN∥y軸，過(guò)M作MN∥x軸與BN交于點(diǎn)N，分兩種情形分別求點(diǎn)P的坐標(biāo)：①BM為平行四邊形的邊，②BM為平行四邊形的對(duì)角線．

（1）∵直線y=2x+4與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，

∴A（0，4），B（-2，0），

∵拋物線C1：過(guò)A，B兩點(diǎn)，

∴c=4，0=-×（-2）2-2b+4，解得b=，

∴拋物線C1的解析式為：y=-x2+x+4，

令y=0，得-x2+x+4=0，解得x1=-2，x2=8，

∴C（8，0）；

（2）①∵拋物線C2與C1恰好關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

∴拋物線C2的解析式為y=x2+x-4，

解方程組，

得：，，

∵點(diǎn)D在第一象限內(nèi)，∴D（4，6）；

②如圖，

過(guò)D作DE⊥x軸于E，則OE=4，CE=OC-OE=8-4=4，DE=6，

S四邊形AOCD=S梯形AOED+S△CDE=（OA+DE）×OE+DE×CE=（4+6）×4+×6×4=32；

（3）存在．

如圖：

過(guò)B作BN∥y軸，過(guò)M作MN∥x軸與BN交于點(diǎn)N，

∵拋物線C2的解析式為y=x2+x-4= (x+3)2-，

∴頂點(diǎn)M（-3，-），

∴BN=，MN=1，

拋物線C1的對(duì)稱軸為：直線x=3，設(shè)P（3，m）；

①以點(diǎn)M，Q，P，B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，若MQ為對(duì)角線，則BM∥PQ，BM=PQ，

∴Q（4，m+），

又∵Q為直線y=2x+4上一點(diǎn)，

∴m+=2×4+4，解得：m=，

∴P（3，）；

②若BM為對(duì)角線，設(shè)P（3，m），Q（n，2n+4），

∵BM中點(diǎn)坐標(biāo)為（-，/span>），

∴，解得，

∴P（3，），

③若BQ為對(duì)角線，∵BM∥PQ，BM=PQ，

∴Q（2，8），設(shè)P（3，m），

則m-=8+0，解得：m=，

∴P（3，），

綜上所述，存在以點(diǎn)M，Q，P，B為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（3，）或P（3，）．