Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B（0，-1），拋物線經(jīng)過點(diǎn)B，且與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為C（4，n）．

（1）求n的值和拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)D在拋物線上，且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t（0<t<4），DE∥y軸交直線l于點(diǎn)E，點(diǎn)F在直線l上，且四邊形DFEG為矩形（如圖2）．若矩形DFEG的周長為p，求p與t的函數(shù)關(guān)系式以及p的最大值；

（3）M是平面內(nèi)一點(diǎn)，將△AOB繞點(diǎn)M沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°后，得到△A'O'B'，點(diǎn)A、O、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)A'、O'、B'． 若△A'O'B'的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好落在拋物線上，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)A’的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）n=2，；（2）p=，p有最大值；（3）點(diǎn)A'的橫坐標(biāo)為：或.

【解析】

（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入直線解析式可得m的值，再把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入直線解析式可得n的值，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；

（2）令y=0求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，從而得到OA、OB的長度，利用勾股定理列式求出AB的長，然后根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根據(jù)矩形的周長公式表示出p，利用直線和拋物線的解析式表示DE的長，整理即可得到P與t的關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的最值問題解答；

（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)點(diǎn)O’、B’在拋物線上時(shí)，由O’B’=OB=1；②當(dāng)點(diǎn)A’、B’在拋物線上時(shí)，由A’B’=AB=，分別求出點(diǎn)A’的橫坐標(biāo)即可．

（1）將B（0，-1）代入得：m=－1，

在中，當(dāng)y=0時(shí)，x=，即A(，0)，

∵過點(diǎn)C（4，n），得：n=2，即C(4，2)，

將B（0，-1）、C（4，n），代入得：

，解得：，

即拋物線的解析式為：.

（2）由（1）知，OA=，OB=1，在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB=，

∵DE∥y軸，

∴∠ABO=∠DEF，

∴sin∠DEF= sin∠ABO=，cos∠DEF=cos∠ABO=，

∴EF=DE·cos∠DEF=DE，DF=DE·cos∠DEF=DE，

∴p=2（DE+DF）=DE，

∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為t，

∴D(t，)，E(t，)，

∴DE=－（）=，

p=（）

=，

∴當(dāng)t=2時(shí)，p有最大值.

（3）由題意知，A’、O’橫坐標(biāo)相等，此二點(diǎn)不會(huì)同時(shí)在拋物線上，

①當(dāng)點(diǎn)O’、B’在拋物線上時(shí)，由O’B’=OB=1，

拋物線的對(duì)稱軸：x=得，O’橫坐標(biāo)為－=，

即A’橫坐標(biāo)為：；

②當(dāng)點(diǎn)A’、B’在拋物線上時(shí)，由A’B’=AB=，

設(shè)點(diǎn)A’(n，y)，則B’(n+1，y－)，

∴，解得：n=

即A’橫坐標(biāo)為：；

綜上所述，點(diǎn)A’的橫坐標(biāo)為：或.