Question

【題目】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC，∠ABC的角平分線BF交DE于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)M，連接PC．

（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度數(shù)；

（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周長(zhǎng)為m+2時(shí)，求△BCM的面積（用含m的代數(shù)式表示）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）32°；（Ⅱ）m+1．

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得∠PBC＝∠PCB，根據(jù)角平分線的定義，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可得到∠ABP的度數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BMCM＝2m+2，于是得到結(jié)論．

解：（Ⅰ）∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，DE⊥BC，

∴PB＝PC，

∴∠PBC＝∠PCB，

∵BP平分∠ABC，

∴∠PBC＝∠ABP，

∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，

∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，

∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，

∴3∠ABP＝120°﹣24°，

∴∠ABP＝32°；

（Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC，

∴BM⊥AC，

∴∠BMC＝90°，

∵PD⊥BC，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

∴PD垂直平分BC，

∴PB＝PC，

∵△PCM的周長(zhǎng)為m+2，

∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2，

∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BMCM＝m2+2BMCM＝（m+2）2，

∴BMCM＝2m+2，

∴△BCM的面積＝BMCM＝m+1．