Question

如圖，在矩形ABCD中，已知AB=2，BC=3，點(diǎn)E為AD邊上一動點(diǎn)（不與A、D重合），連接CE，作EF⊥CE交AB邊于F
（1）求證：△AEF∽△DCE；
（2）當(dāng)△ECF∽△AEF時，求AF的長．

Answer 1

分析：（1）由在矩形ABCD中，EF⊥CE，根據(jù)等角的余角相等，可得∠AFE=∠DEC，又由∠A=∠D=90°，即可證得：△AEF∽△DCE；
（2）由△AEF∽△DCE，△ECF∽△AEF，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得AF的長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AEF+∠AFE=90°，
∵EF⊥CE，
∴∠AEF+∠DEC=90°，
∴∠AFE=∠DEC，
∴△AEF∽△DCE；

（2）解：∵△ECF∽△AEF，
∴

AF

AE

=

EF

EC

，
∵△AEF∽△DCE，
∴

AF

ED

=

EF

EC

，
∴AE=ED=

AD

2

=

3

2

，
∵△AEF∽△DCE，
∴

AF

AE

=

DE

DC

，
即

AF

3 2

=

3 2

2

，
∴AF=

9

8

．

點(diǎn)評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．